2019高中数学第二章空间向量的运算（第2课时）空间向量的数量积课后训练案巩固提升（含解析）

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1、第2课时　空间向量的数量积课后训练案巩固提升A组1.下列命题中正确的是(　　)A.(a·b)2=a2·b2B.

2、a·b

3、≤

4、a

5、

6、b

7、C.(a·b)·c=a·(b·c)D.若a⊥(b-c),则a·b=a·c=0解析:对于A项,左边=

8、a

9、2

10、b

11、2cos2,右边=

12、a

13、2

14、b

15、2,∴左边≤右边,故A错误.对于C项,数量积不满足结合律,∴C错误.在D中,∵a·(b-c)=0,∴a·b-a·c=0,∴a·b=a·c,但a·b与a·c不一定等于零,故D错误.对于B项,∵a·b=

16、a

17、

18、b

19、cos,-1≤cos≤1,∴

20、a·b

21、≤

22、a

23、

24、b

25、,故B正确.

26、答案:B2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(　　)A.2B.2C.2D.2解析:2=-a2,故A错;2=-a2,故B错;2=-a2,故D错;2=a2,故只有C正确.答案:C3.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=1,则PC等于(　　)A.B.1C.2D.4解析:∵,∴+2=1+1+1+2×1×cos60°=4,∴

27、

28、=2.答案:C4.已知a,b是两个非零向量,现给出以下命题:①a·b>0⇔∈;②a·b=0⇔=;③a·b<0⇔∈;④

29、

30、a·b

31、=

32、a

33、

34、b

35、⇔=π.其中正确的命题有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个解析:利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作出判断.∵a,b为非零向量,∴

36、a

37、≠0,

38、b

39、≠0.又∵a·b=

40、a

41、

42、b

43、cos,且0≤≤π,于是a·b>0⇔cos>0⇔∈;a·b=0⇔cos=0⇔=;a·b<0⇔cos<0⇔∈.因此,命题①②③均为真命题.∵

44、a·b

45、=

46、a

47、

48、b

49、⇔

50、cos

51、=1⇔=0或π,∴

52、a·b

53、=

54、a

55、

56、b

57、⇔=π不正确,即命题④为假命题.

58、故选C.答案:C5.若

59、a

60、=

61、b

62、,且非零向量a,b不平行,则a+b与a-b所在直线所形成的角的大小是　　　. 解析:如图,作=a,=b,以为邻边作▱OACB,则=a+b,=a-b.又∵

63、a

64、=

65、b

66、,∴四边形OACB为菱形,∴,故a+b与a-b的夹角为.答案:6.导学号90074024已知

67、a+b

68、=2,

69、a-b

70、=3,且cos=,则

71、a

72、=　　　,

73、b

74、=　　　. 解析:由

75、a+b

76、=2,知a2+2a·b+b2=4.由

77、a-b

78、=3,知a2-2a·b+b2=9.故2a2+2b2=13,则

79、a

80、2+

81、b

82、2=.①由cos=,得

83、a

84、2-

85、

86、b

87、2=.②由①②,得

88、a

89、=2,

90、b

91、=.答案:2　7.已知a,b,c中每两个的夹角都是,且

92、a

93、=4,

94、b

95、=6,

96、c

97、=2,试计算

98、a+b+c

99、.解∵

100、a

101、=4,

102、b

103、=6,

104、c

105、=2,且===,∴

106、a+b+c

107、2=(a+b+c)·(a+b+c)=

108、a

109、2+

110、b

111、2+

112、c

113、2+2a·b+2a·c+2b·c=

114、a

115、2+

116、b

117、2+

118、c

119、2+2

120、a

121、

122、b

123、cos+2

124、a

125、

126、c

127、·cos+2

128、b

129、

130、c

131、cos=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴

132、a+b+c

133、=10.8.如图,在四面体A-BCD中,A

134、B=2,BC=3,BD=2,CD=3,∠ABD=30°,∠ABC=60°,求AB与CD的夹角的余弦值.解∵,∴=

135、

136、·

137、

138、·cos<>-

139、

140、·

141、

142、·cos<>=2×2×cos150°-2×3×cos120°=-6+3=-3,∴cos<>==-,∴AB与CD的夹角的余弦值为.9.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若侧面对角线AB1⊥BC1,求证:A1C⊥AB1.证明由题意,设=a,=b,=c,

143、a

144、=

145、b

146、=m,

147、c

148、=n,则a·b=m2cos60°=,a·c=b·c=0.∵AB1⊥BC1,且=-a+c,=b+c,∴=(-a+c)·(b+c)=-a·b+c2=n2-m2=

149、0,即m2=2n2,∴=(-a+c)·()=(-a+c)·(-c-a+b)=a2-c2-a·b=m2-n2-m2=0,∴A1C⊥AB1.B组1.设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a·b)·c-(c·a)·b=0;②

150、a

151、-

152、b

153、<

154、a-b

155、;③(b·a)·c-(a·c)·b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9

156、a

157、2-4

158、b

159、2.其中正确的有(　　)A.①②B.②③C.③④D.②④解析:根据向量的数量积运算,结合模及向量垂直的性质知①③不正确,②④正确.答案:D2