线性方程组有解的判定条件

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1、一、线性方程组有解的判定条件问题：如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩，讨论线性方程组Ax=b的解．定理1n元齐次线性方程组Ax=0有非零解m×n的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)

2、量为０，即可得方程组的一个非零解.定理2n元非齐次线性方程组Ax=b有解m×n的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A,b)的秩.证必要性．设方程组Ax=b有解,设R(A)

3、一个解．证毕小结R(A)=R(B)=n⇔Ax=b有唯一解R(A)=R(B)

4、为线性方程组的通解．二、线性方程组的解法例1求解齐次线性方程组x1+2x2+x3+x4=02x1+x2−2x3−2x4=0.x1−x2−4x3−3x4=0解对系数矩阵A施行初等行变换：12211221r2−2r1A=21−2−20−3−6−4r−r311−1−4−30−3−6−4510−2−12213r−r4r1−2r2432012012r2÷(−3)3300000000即得与原方程组同解的方程组5x−2x−x=

5、0,13344x+2x+x=0,23435x=2x+x,1334由此即得4x=−2x−x,234(x,x可任意取值).334令x=c,x=c，把它写成通常的参数形式314255x=2c+c,1232x123x=−2c−4c,x2−24222∴=c+c−.3x11233x3=c1,0x=c,x40421例２求解非齐次线性方程组x1−2x2+3x3−x4=1,3x1−x2+5x3−3x4=2

6、,2x1+x2+2x3−2x4=3.解对增广矩阵B进行初等变换，r−2r1−23−11211−23−−11r−rB=3−15−323105−440−1212−23r3−r2005−04012显然，R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解．例３求解非齐次方程组的通解x1−x2−x3+x4=0x1−x2+x3−3x4=1.x1−x2−2x3+3x4=−12解对增广矩阵B进行初等变换1−1−1101−1−110B=1−11−31~002−41

7、1−1−23−1200−12−121−10−112~001−212.00000由于R(A)=R(B)=2,故方程组有解，且有x1=x2+x4+12x1=x2+x4+12x2=x2+0x4⇔x3=2x4+12x3=0x2+2x4+12x4=0x2+x4所以方程组的通解为x11012x2100=x+x+.x2042123x4010其中x,x任意.24x1

8、−x2=a1x−x=a232例４证明方程组x3−x4=a3有解的充要条件x−x=a454x5−x1=a5是a+a+a+a+a=0.在有解的情况下，12345求出它的一切解．解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为1−1000a101−100a2B=001−10a30001−1a4−10001a51−1