数值分析1误差及有效数字

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1、数值分析：研究各类数学问题求解的数值计算及相关理论分析。随着计算机的产生和发展，数值分析越来越多地研究如何借助于计算机求解相关问题。计算方法：随着计算机产生和发展而建立的一个重要数学分支，是研究建立计算机解决各种数学问题的数值计算及相关理论分析。第一章绪论1.1数值分析(计算方法)介绍：(NumericalAnalysis)(ComputationalMethod)主要内容：（1）数值计算：非线性方程求根，（非）线性方程组求解，插值，逼近（最小二乘拟合），数值微分（积分），常微分方程，矩阵特征值求解，偏微分方程数值解,

2、……（2）理论分析：误差分析，计算过程的收敛性、稳定性（数学角度上），算法的计算时间复杂度，存储容量大小（计算机角度上）特点:具有数学的抽象性和逻辑严密性又具有广泛的应用性和高度的技术性（与计算机结合密切的一门课程）使用计算机进行数值问题求解是主要研究对象。如何学习这门课？这门课的学习意义，数值计算的重要性;如何上这门课（教材）,学习方法;上课形式（授课、上机、大型实验）;成绩评定（平时、实验、期中、期末）.1.2误差基本概念1.2.1误差定义及来源真实值与观察、测量或计算的值之间存在差异，其差称为误差。结合实际问题求

3、解，误差来源可分为：(1).模型误差（实际问题→数学问题），如抽象化、忽略次要因素等.(2).观测误差（数学问题中的数据初始值观察测量时产生）(Error)(3).截断误差（计算过程中存在的一些无限计算），如无穷级数求和（无限次→有限次：，(4).舍入误差（计算结果中存在数据无限位，如Pi，无理数→有理数，）整个误差来源可做图表示:总结：误差是不可避免的，应尽量减少误差，提高精度（如选择好的计算方法）1.2.2绝对误差和绝对误差限定义：设为准确值，是近似值,为绝对误差分析：①e可正可负（并不因为是绝对误差，就以为是正值

4、)②e值实际上无法知道,不知道，但能知道误差的某个范围（即误差限）例：毫米刻度的尺子，正常情况下误差不超过0.5mm.定义：若，则称为绝对误差限，为正数，有:1.2.3相对误差和相对误差限为什么引入？因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的物体，其绝对误差限都为0.5㎝，但测量精度分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测量精确度，引入相对误差。定义：为准确值，为近似值，则分析：(1).可正可负(2).(3).无法知道，因为不知道，也可表示为和之间关系为：（可作为习题）因为无法求出，所以通常考虑相对误差限若或

5、则称为相对误差限。1.2.4有效数字当有很多位数表示时，可按四舍五入取前几位。定义：如果近似值的误差限是其末位上的半个单位，且该位直到的第一个非零数字共有n位，则有n位有效数字。具体计算：对，从左往右数，从第一个非零数字开始，直到最右面的数共有n个，且其误差限为末位的个单位，则有效数字为n。有效数字的位数确定.例：数0.00234711，取五位有效数字，例：=1.732050808若=1.7321，但若=1.7320，误差限为则有5位有效数字，因为误差限＜则只有4位有效数字，因为误差限＞为0.0023471，1.2.5

6、误差传播影响计算过程中（如四则运算）的初始数据误差会导致函数值误差.泰勒级数展开分析误差传播.设为准确值，准确值为为近似值，近似值为先考虑绝对误差：令利用二元函数一阶泰勒展开公式采用二元函数所以：再考虑相对误差：根据以上两公式，可得到两数相加、减、乘、除的误差传播：（避免绝对值很大的数为乘数）（避免为很小的数为除数）（避免两相近数相减运算)1.3机器数系.(略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差)这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及表示范围（4个参数）：其中，=±0.a1a2a3………at称为尾数∈[-1

7、,1],中的正负号用一位数字区分；β为基数，如取2、10、8、16；p为阶数，有上限U和下限L,由计算机存储字节长度决定。1.4误差危害的防止（1）使用数值稳定的计算公式数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法，若第n+1步的误差en+1与第n步的误差en满足，则称该计算公式是绝对稳定的例：建立积分In=（n=0,1.........,20）递推关系式，并分析误差传播影响。解：In+5In-1=I0==ln6-ln5∴递推式：①在计算I0时，设近似值为I0为可设e0=I0-∴In-=即初始误差对第n步的影响

8、是扩大5n倍，误差范围变大，不稳定.对①可改用另一种计算过程：（可通过积分第一中值定理算出）则，误差范围逐步减少。即若函数f(x)连续,g(x)在区间[a,b]上不变号且可积,则有设（2）避免两相近数相减例.计算设和有六位有效数字,即x1=44.7325x2=44.7102x1-x2=44.7325-44.7102（可以根据需要取