矩阵理论与方法的应用

《矩阵理论与方法的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章矩阵理论与方法的应用第二节投入产出数学模型1在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入”与“产出”关系的数学模型，该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。2一、投入产出数学模型的概念投入～从事一项经济活动的消耗；产出～从事经济活动的结果；投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运用线性代数工具建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。按计

2、量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。3流量产出投入消耗部门最终需求总产出消费累计出口合计生产部门新创价值工资纯收入合计总投入表7.1：投入产出表4投入产出表描述了各经济部门在某个时期的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用量，(j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等）为(j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这个时期的总产出水平。5投入产出的基本平衡关系从左到右：中间需求＋最终需求＝总产

3、出(7-9)从上到下：中间消耗＋净产值＝总投入(7-10)由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：(7-11)(7-12)6需求平衡方程组：(7-13)投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：(7-15)(7-14)7由(7-11)和(7-14)，可得(7-16)这表明就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经济净产值的总和相等。8二、直接消耗系数定义7.2.1第j部门生产单位价值所消耗第i部门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗系数，记作。由定义得(7-17)把投入产出表中的各个中间需求换成相应的后得到的数表称

4、为直接消耗系数表，并称n阶矩阵为直接消耗系数矩阵。9例1已知某经济系统在一个生产周期内投入产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。表7.2产出投入中间消耗最终需求总产出123中间投入1231002530805030402560400250300净产值总投入40025030010解由直接消耗系数的定义，得直接消耗系数矩阵直接消耗系数具有下面重要性质：性质7.2.1性质7.2.211由直接消耗系数的定义，代入(7-17)，得(7-18)令，(7-18)式可表示为，或(7-19)称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。12类似地把代入平衡方程(7-14)得到(7-20)写成

5、矩阵形式为(7-21)其中13定理7.2.1列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。如果各部门的最终需求已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一解。例2设某工厂有三个车间，在某一个生产周期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求如表7.3，求各车间的总产值。14表7.3车间直耗系数车间ⅠⅡⅢ最终需求ⅠⅡⅢ0.250.10.10.20.20.10.10.10.2235125210解15即三个车间的总产值分别为400，300，350。16定理7.2.2方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。证明因由性质7.2.2知，，故所以E-D可逆。17三、完全消耗系数直接

6、消耗系数只反映各部门间的直接消耗，不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出如下定义。定义7.2.2第j部门生产单位价值量直接和间接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部门对第i部门的完全消耗系数，记作。18由构成的n阶方阵称为各部门间的完全消耗系数矩阵。定理7.2.3第j部门对第i部门的完全消耗系数满足方程定理7.2.4设n个部门的直接消耗系数矩阵为A，完全消耗系数矩阵为B，则有19证明由定理7.2.3知，将个等式用矩阵表示为由定理7.2.1知(E-A)可逆，故20例3假设某公司三个生产部门间的报告价值型投入产出表如表7.4，产出投入中间消耗最终需求总产出1

7、23中间投入123150006000610600250152536004001840625250030506000表7.4求各部门间的完全消耗系数矩阵。21解依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中各列，得到直接消耗系数矩阵为22故所求完全消耗系数矩阵为由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接消耗系数矩阵的值要大的多。23定理7.2.5如果第j部门最终需求增加，而其他部门的最终需求不变，那么部门总产出X的增量为其中为单位坐标向量。证明由定理7.2.4知，将此关系代入方程(7-19)，得24由定理假设，部门最终需求增量于是25定理7.2.5表明，由第j部门最终需求的

8、增加（其他部门的最终需求不变），引起了各部门总产值的