《4.2.2 常见曲线的极坐标方程》习题1

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1、x2y21．过椭圆＋＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若FA＝2FB，259求直线l的斜率．x2y2【解】椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，2594b29所以e＝，p＝＝.5c4取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方49×549程为ρ＝＝.45－4cosθ1－cosθ599设A(ρ1，θ)、B(ρ2，π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2.于是＝2×，解得cosθ5－4cosθ5＋4cosθ5119119＝，所以tanθ＝，即直线l的斜率为.1255162．已知椭圆方程为ρ＝，过左焦点引弦

2、AB，已知AB＝8，求△AOB的面积．5－3cosθ【解】如图，设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)．16所以ρ1＋ρ2＝＋5－3cosθ16160＝.5＋3cosθ25－9cos2θ因为AB＝8，160所以＝8，25－9cos2θ52所以cos2θ＝，sinθ＝.93由椭圆方程知c3b216e＝＝，＝，则c＝3.a5c311S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝OF·ρ1·sinθ＋OF·ρ2·sinθ＝8.22图4－2－43．如图4－2－4，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MN⊥AB，并交对称轴于

3、N.求证：MN2＝AF·BF.p【证明】取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝.1－cosθ设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，则ppp2AF·BF＝·＝.1－cosθ1＋cosθsin2θπ不妨设0＜θ＜，21则MF＝(ρ1－ρ2)21pppcosθ＝(－)＝.21－cosθ1＋cosθsin2θ所以MN＝MF·tanθpcosθp＝tanθ＝.sin2θsinθ所以MN2＝AF·BF.图4－2－54．如图4－2－5，已知圆F：x2＋y2－4x＝0，抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F，过圆心且倾斜

4、角为θ的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点．(1)当直线的斜率为2时，求AB＋CD；(2)当θ为何值时，AB＋CD有最小值？并求这个最小值．【解】圆F：x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2，0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系．则圆F的坐标方程为ρ＝2，抛物线G的极坐标4方程为ρ＝.1－cosθ设A(ρ1，θ)、D(ρ2，θ＋π)，所以AB＝AF－2，CD＝FD－2，即AB＋CD＝AF＋FD－444448＝ρ1＋ρ2－4＝＋－4＝＋－4＝－4＝1－cosθ1－cosθ

5、＋π1－cosθ1＋cosθ1－cos2θ8－4.sin2θ24(1)由题意，得tanθ＝2，所以sinθ＝.58所以AB＋CD＝－4＝6.sin2θ8(2)AB＋CD＝－4，sin2θ当sin2θ＝1，π即θ＝时△ABF2的面积取到最小值4.2p5．已知抛物线ρ＝，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求△FAB的面积的最1－cosθ小值．πρ2，θ＋【解】设A(ρ1，θ)、B2，则pppρ1＝，ρ2＝π＝.1－cosθθ＋1＋sinθ1－cos2△FAB的面积为11ppS＝ρ1ρ2＝··221－cosθ1＋sinθp2＝21－cosθ1＋s

6、inθp2＝.21－cosθ＋sinθ－sinθcosθ1－t2设t＝sinθ－cosθ，则sinθcosθ＝.21－t21所以1－cosθ＋sinθ－sinθcosθ＝1＋t－＝(t＋1)2.22πθ－又t＝sinθ－cosθ＝2sin4∈[－2，2]，3πp2所以当t＝2，即θ＝时，△FAB的面积S有最小值.41＋226．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆短轴的一个顶点，且∠F1PF2＝90°.(1)求椭圆C的离心率；(2)若直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，且△ABF2的面积的最大值为12，求椭圆C的方程

7、．【解】(1)因为∠F222222c21PF2＝90°，所以PF1＋PF2＝F1F2，即a＋a＝4c.所以e＝＝.a2(2)以椭圆的左焦点F1为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为2p2pρ＝＝.22－cosθ1－cosθ2设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，则AB＝AF＋FB＝ρ1＋ρ2pp＝＋2－cosθ2－cosθ＋πpp22p＝＋＝.2－cosθ2＋cosθ2－cos2θ1因为F1F2＝2c，所以△ABF2的边AB上的高h为2c

8、sinθ

9、，△ABF2的面积S＝·AB·h＝222pc

10、sinθ

11、22pc

12、sinθ

13、＝2－c

14、os2θ1＋sin2θ22pc＝.1＋

15、sinθ

16、

17、sinθ

18、1因为＋

19、sinθ

20、≥2，

21、sinθ

22、所以当

23、sinθ

24、＝1，π3π即θ＝或θ＝时S取到最大值．22所以当l过左焦点