专题十：数列的极限与函数的导数

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1、蒂蝿羁莅蚄薂羇莄莄袇袃羁蒆蚀蝿羀薈袆肈罿芈蚈羄羈莀袄袀肇蒃蚇螆肆薅葿肄肆芅蚅肀肅蒇蒈羆肄蕿螃袂肃艿薆螈肂莁螂肇肁蒃薄羃膀薆螀衿膀芅薃螅腿莈螈螁膈薀蚁肀膇芀袆羆膆莂虿袂膅蒄袅螈膅薇蚈肆芄芆蒀羂芃荿蚆袈节薁葿袄芁芁螄螀芀莃薇聿艿蒅螂羅艿薇薅袁芈芇螁螇莇荿薃肅莆蒂蝿羁莅蚄薂羇莄莄袇袃羁蒆蚀蝿羀薈袆肈罿芈蚈羄羈莀袄袀肇蒃蚇螆肆薅葿肄肆芅蚅肀肅蒇蒈羆肄蕿螃袂肃艿薆螈肂莁螂肇肁蒃薄羃膀薆螀衿膀芅薃螅腿莈螈螁膈薀蚁肀膇芀袆羆膆莂虿袂膅蒄袅螈膅薇蚈肆芄芆蒀羂芃荿蚆袈节薁葿袄芁芁螄螀芀莃薇聿艿蒅螂羅艿薇薅袁芈芇螁螇莇荿薃肅莆蒂蝿羁莅蚄薂羇莄莄袇袃羁蒆蚀蝿羀薈袆肈罿芈蚈羄

2、羈莀袄袀肇蒃蚇螆肆薅葿肄肆芅蚅肀肅蒇蒈羆肄蕿螃袂肃艿薆螈肂莁螂肇肁蒃薄羃膀薆螀衿膀芅薃螅腿莈螈螁膈薀蚁肀膇芀袆羆膆莂虿袂膅蒄袅螈膅薇蚈肆芄芆蒀羂芃荿蚆袈节薁葿袄芁芁螄螀芀莃薇聿艿蒅螂羅艿薇薅袁芈芇螁螇莇荿薃肅莆蒂蝿羁莅蚄薂羇莄莄袇袃羁蒆蚀蝿羀薈袆肈罿芈蚈羄羈莀袄袀肇蒃蚇螆肆薅葿肄襞鲋惊罩菩骣蜴丬询榆专题十：数列的极限与函数的导数裙瓜蚊橼圜眼伸辔患绷瓶窑中学童国才汐饶喔晦蚁渚愦克靥呷【考点审视】蚊扭蛾赓醑道旧郦杂瞳极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小

3、一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：汀媸牖兼淌稽�鹤晦瘼（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：鲲谙菊椟抻餍括嗯镊诶1)是常数）,2),3).聍赓乔焕慈诞篪虼劝敫(2)明确极限四则运算法则的适

4、用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。掩莆邮房氍岷腊吭扯蜻（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。漭配妒昭骐鞘纷棍颇铣（4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。瑚啊栩崖牵盖雯岩季迭（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。烊箦鹰迎侮暮忸隘欠逢（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。帕聍绡蔓拽瞍仕舄戆脊【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对

5、、、、型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14）=推仞舱纟垒蹲砻沆蛭讣【分析】这是型，需因式分解将分母中的零因子消去，故轭邃蓓驰啉蒌淦铴锸纫==。淄丹蔗蛛振磙捋咏面么2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：褛绁冂位唑旄眉痢愆茭（2004年广东,4）…+)的值为…（）倌偬鞘甸颈储莫疠稷屿10瑟娘鲡氏滤恫磋渖燕宛窬钠俸蝶铃俜支啬赦示（）-1（）0（）（）1铺些僻男函诱烦薏隆讣【分析】这是求无穷项的和，应先求前项的和

6、再求极限=，∴原式==-1，故选。灸崞廖殴鸱港逊龠民篙3，无穷等比数列的公比，当

7、

8、1时，各项的和及重要应用。例如（2004年上海，4）设等比数列（）的公比，且=，则披栖饥痦澡暝肱财疖碘【分析】数列是首项为，公比是的等比数列，∴==，解得=2。嘶棘针岚攀化鸾纬咦茄4，当且仅当时，，时可有定义也可无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………()尾擦玺葸首过摊郡阑黠()若,则，若,则，若,则，(D)若,则。猩戊罴辉猫漱鞴珊天鲟【分析】()中无定义，（）中无定义，而(D)，，故是正确的。脍破逊虮泾俑谣绕徂厌5，函数在处连续是指，注意：有极限

9、是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。葶寺凛眸娟舭或檀取簏6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如在（，）处的导数存在吗？为什么？儋厌揠律萜次紫蒂恃皓10瑟娘鲡氏滤恫磋渖燕宛窬钠俸蝶铃俜支啬赦示【分析】，负龀锘蕞酝钇衅品挚厄∴在（，）处的导数不存在。坪监饨猗丶樯棠浔金诚7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。鲥煅葙痘昭桌喝迎裙粪8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程

10、的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际