随机微分方程在经济学中的应用

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1、§5.3经济学中的SDE模型经济学是SDE的主要应用领域之一.考虑到经济运行中充满了不确定性,而这种不确定性乃是大量随机因素干扰的结果,在对经济过程的数学描述中运用SDE应当是不可避免的.早在20世纪70年代,著名经济学家Merton等人就将SDE应用于经济与金融中,且获得了令人瞩目的结果.近年来,SDE在经济学中的运用更为普遍与深入.用SDE构建的经济模型已如此之多,此处根本不可能作什么概括.下面仅介绍三个典型的经济模型,它们在现代动态宏观经济理论中起着基本的作用.用这些模型作为解释SDE方法的例子,应该说是

2、很具启发性的.考虑到不可避免地要用到一些经济学的术语与记号,下面作一最低限度的介绍.设想我们考虑的是某个独立运行的经济系统,与其相关的经济变量都是随机过程.分别以K,H,A,L,Y记该经济中物质资本、人力资本、技术、劳动力与产出的总量;以k=K/L记物质资本的人均量,h=H/L仿此.假定K,H,A,L,的增长服从如下微分方程:其中与本别为与的增长路率,与分别为与的期望增长率,假定是常数.与的增长分别受到Brown运动与的扰动,其扰动强度分别为,假定相互独立.对于与不考虑其自身的扰动.以上所做的种种假设不免有些理

3、想化,但这能使下面建立的模型较为简单.5.3.1Solow模型Solow模型是现代经济增长理论中具有奠基意义的模型,在SDE形式下,它可表成其中表示储蓄率;是生产函数,假定满足如下条件:依式.方程的推导并不难:假定是一次齐次的生产函数,记则（用（1.3.31））（用（1.3.1c））下面分析方程.方程显然有零解.其次,因在内是局部Lipschitz的,对每个,方程必存在局部解（依定理3.1.4）.我们关心的是,是否为整体解且保持为正？这由以下定理解决.定理5.3.1设,则对任何,方程的解是定义于上,且a.s.地

4、有.证采用定理5.2.2的证法.定义停时N.只要证故可取使得.定义则设是结合方程的微分算子,则利用条件易算出其次,用得利用以上事实立得因此必是某个正常数.于是另一方面,当时有,于是这推出,如所要证.条件意味着与劳动力的增长比较,劳动力的随机波动是偏小的.定理5.3.1表明,在此条件下,经济一旦启动,就将一直运行下去,绝不会在有限时间内因崩溃或过度膨胀而终止.下面保持这一条件而分析方程的解的渐近状态.我们特别关心的是:能否求出经济增长率的一个下限？试用§2.3中的方法,取Liapunov函数,今估计（依（2.3.

5、31））:注意到,（用（5.3.3））即单调下降,有这就得到（参见定理2.3.9）:有（5.3.4）近似地可以说,式（5.3.4）表明的增长率至少为.因已设,式（5.3.4）并不能保证有正增长,但可保证绝不能有过大的负增长.若撤去条件,则可能出现三种结局:（ⅰ）在有限时间内经济因而中止;（ⅱ）在有限时间内经济因无界增长而爆炸;（ⅲ）至少以为增长率持久地增长.5.3.2人力资本模型在同时考虑物质资本与人力资本的情况下,假定经济依据如下生产函数运行:(5.3.5)其中与solow模型中的相对照,现在设,其中,分别为

6、产出用于物质资本与人力资本投资的份额,于是（用（1.3.31））（用（1.3.1）,（5.3.5））其中依式（5.3.1c）.对可求出类似的式子,于是得到关于的如下SDE:（5.3.6）或写成矩阵形式:对于方程（5.3.6）有类似于定理5.3.1的以下结果.定理5.3.2设以下条件满足:（5.3.7）则对任何初值,方程（5.3.6）的解定义于区间上,且a.s.地保持为正.证仍用定理4.6.1的证法.定义停时,只要证.约定.定义,则（5.3.8）由条件（5.3.7）推出由推出.这就由（5.3.8）得到是某个正常数

7、.于是另一方面,当时以下四种情况之一必发生:于是显然,故得,如所要证.类似于solow模型,若令,则因此,若是方程（5.3.6）的整体解且a.s.保证为正,则（5.3.9）于是得出经济可能的三种结局是:(ⅰ)因在有限时间内或趋于零而中止;(ⅱ)在有限时间内或无界增长;(ⅲ)经济持久地运行且增长率不低于.若条件（5.3.7）满足,则仅有情况(ⅲ)出现,以上事实与solow模型非常类似.5.3.3R＆D模型前面两个模型都不涉及技术因素,因而不能解释技术进步对于经济增长的作用.今考虑将技术水平纳入模型之内.设依式(5

8、.3.1b)增长,,(5.3.10)其中均为正参数.的表达式表明,技术增长率与物质资本及劳动力的投入正相关,而与现有技术水平负相关;后者意味着,技术水平愈高,其增长就愈不容易.为记号简单起见,约定,且设.于是(用(1.3.28))其中.(5.3.11a)类似地求出,因而得到关于的如下SDE:(5.3.12)其中(5.3.11b)(5.3.12)可写成如下矩阵形式:,这正是在§5.2中讨