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1、2.5与圆有关的比例线段探究1:AB是直径,CD⊥AB交点P.线段PA,PB,PC,PD之间有何关系?PA·PB=PC·PD1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。ACBPDOCABPDOACBPDOA(C.P)BD探究2:把两条相交弦的交点P从圆内运动到圆上.再到圆外，结论是否还能成立?PA·PB=PC·PDP在圆外:易证△PAD∽△PCB故PA·PB=PC·PDP在圆上:PA=PC=0,仍有PA·PB=PC·PDAPCBDPAC2.割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.A(
2、B)PODCPA·PB=PC·PD探究3:使割线PB绕P点运动到切线的位置,是否还能成立?APBODCA(B)PODC连接AC,AD易证△PAC∽△PDA上式可变形为PA²=PC·PD3.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.故PA·PB=PC·PD仍成立因为A,B重合，探究4:使割线PD绕P点运动到切线的位置,可以得出什么结论?A(B)PODC易证Rt△OAP≌Rt△OCP.PA=PC4.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.A(B)POC
3、(D)PA²=PC·PD思考:1.由切割线定理能证明切线长定理吗?如图由P向圆任作一条割线EF试试.A(B)POC(D)EF思考:2.你能将切线长定理推广到空间的情形吗?O例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点P,已知PA=PB=4.PC=PD,求CD的长.CDABP解:设CD=x,则PD=,PC=由相交弦定理,得PA•PB=PC•PD∴4×4=•求得x=10,∴CD=10例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.求证:(1)△DFE∽△EFA;(2)EF=FGABCOFGED321△DFE∽
4、△EFAEF²=FA•FD又GF²=FA•FDGF²=EF²EF=FG例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD.求证:PC=PDPABDC析：PC²=PA•PB又PD²=PA•PBPC²=PD²PC=PD例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C,求证:AC•AD+BC•BE=AB².ABDECOF分析:A,F,C.E四点共圆BC•BE=BF•BA.F,B,D,C四点共圆AC•AD=AF•AB.AC•AD+BC•BE=AF•AB+BF•BA=AB(AF+BF)=AB²例
5、5.如图,AB,AC是⊙O的切线,ADE是⊙O的割线,连接CD,BD,BE,CE.BAECOD问题1由上述条件能推出哪些结论?探究1:∠ACD=∠AEC△ADC∽△ACE⑴CD•AE=AC•CE⑵同理BD•AE=AB•BE⑶因为AC=AB,由⑵⑶可得BE•CD=BD•CE⑷图⑴探究2:猜想并可证明问题2在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些结论?BAECOD图⑴BAECODFG图⑵△ADC∽△ACE⑸同样可得⑵⑶⑷证明如下:BAECODFG图⑵∵AB²=AD•AE,而AB=AC,∴AC²
6、=AD•AE,即∵∠CAD=∠EAC,(对应边成比例且夹角相等).∴△ADC∽△ACE⑸另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆∴∠CFG=∠AEC,又∵∠ACF=∠AEC,∴∠CFG=∠ACF,∴FG//AC⑹BAECODFG图⑵问题3在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪些结论?BAECODFG图⑶P探究3:可以推出（1）~（6）的所有结论。BAECODQG图⑶P此外∵AC//DG.∴AD•CE=AE•CG⑺∵△ACD∽△AEC∴AC•CD=AD•CE⑻由⑺⑻可得：AC•CD=AE•C
7、G⑼连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则∠PCQ=∠PGD=∠DBE,故C,E,B,Q四点共圆⑽习题2.55.如图,⊙O与⊙O´相交与点A,B.PQ是⊙O的切线,求证:PN²=NM•NQQNPO´OABM6.如图,PA是⊙O的切线,M是PA的中点,求证:∠MPB=∠MCP∵MA²=MB•MC=PM²∴△MBP∽△PMC∴∠MPB=∠MCPAPCBMO思路：习题2.5习题2.57.如图,AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H是垂心,AD延长线交△ABC外接圆于点G,求证:DH=DGACEGBFHD132AECDPBFO习题2.
8、58.如图,⊙O直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P,AE=AC.求证:PF•PO=PA•PB⌒⌒12△POC∽△PDFPF•PO=PD•PC又P
