机械工程测试技术基础讲稿(第二周)

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1、主讲人：周晓军教授、博导联系电话：87952516/13306522407Email:sky@zju.edu.cn办公地点：浙江大学玉泉校区教1－104机械工程测量学－－测试技术基础第二周授课内容瞬变信号与连续频谱(频谱密度函数）1.Fourier变换的定义2.Fourier变换的性质3.几种典型信号的频谱……0tx(t)E例：求图1和图2周期方波的频谱。解：对于图1的信号，其周期为，可得x(t)…0tE…图1图2进一步为：同理可得图2信号的频谱表示式为：……0……0图1信号的频谱图2信号的频谱两点重要的结论：当，即信号从周期信号转换为瞬态非周期信号时，频谱趋于连续。因此

2、，瞬态非周期信号的频谱应该是连续的。当，即信号从周期信号转换为瞬态非周期信号时，。因此，无法用于描述瞬态非周期信号。对取极值，得频谱密度函数为：即为x(t)的傅里叶正变换。……0Et频谱密度函数的图示解释：根据周期信号的复指数基展开，有取那么，得到傅里叶反变换为因此，傅里叶变换对为正变换反变换可记为由于，因而有，上述傅里叶变换对可表示为：正变换反变换可记为其中是一个复数，可表示为：存在以下关系由于对于实信号，有因此，对于实信号幅频谱为偶函数，相频谱为奇函数。傅里叶变换的存在的充分条件是在无限区间上绝对可积，即但是，自从引入广义函数概念以后，在傅里叶变换中允许奇异函数（如冲

3、击函数）存在，这样使许多并不绝对可积的函数（如阶跃函数、符号函数及周期函数等），其频谱函数有了确定的表示式。例1求矩形窗函数的频谱解：应用欧拉公式E-T/2T/2tw(t)0W(f)TE01T1Tf3T3T2T2T(f)01T2T3T1T2T3TW(f)TE01T1Tf3T3T2T2T-幅频谱相频谱例2求下列函数的频谱1tx(t)0解：1/afX(f)0-1f0例3求符号函数的频谱解：符号函数是例2当a0时的极限状态，因此1tsgn(t)0-1问题：如何求得阶跃函数的频谱？1）奇偶虚实性若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数若x(t)为实奇函数

4、，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数2）线性叠加性如果那么因此，Fourier变换是一种线性变换。证明：3）对称性如果则有IFT定义互换t和f用-t代t这是傅里叶变换的定义，因此上述结论得到验证即对称性举例利用该性质，可根据已知的傅里叶变换对推出未知的傅里叶变换对。4)时间尺度改变特性如果则有得证证明尺度改变性质举例时间尺度改变特性，又称为时间展缩原理a)k=1b)k=0.5幅值增大频带变窄c)k=2幅值减小频带变宽5）时移和频移性质如果则有时移性质

5、：频移性质：证明：此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值时，频谱函数将乘因子，即只改变相频谱，不会改变幅频谱。6）卷积性质（又称为褶积）卷积定义：运算步骤：反褶，即平移，即相乘，即积分，即图形解释101-1/210-210210信号反褶平移101-1/2101-1/2相乘和积分101-1/2101-1/2101-1/2卷积结果15/1601-1/223卷积起到钝化作用；计算相当繁琐。系统与信号的关系对于一个线性系统，其系统函数为h(t)，那么，输入信号x(t)和输出信号y(t)之间存在一个卷积关系，即h(t)x(t)y(t)卷积性质可表述为：（这个性质很重要）卷积一

6、般难于计算，应用傅里叶变换的性质，可以将之化为乘积，然后再做反变换。卷积性质7)微分与积分性质同理若则证明即微分性质积分性质傅里叶变换的主要性质积分时移频域微分尺度变换时域微分对称性x1(t)x2(t)频域卷积线性叠加x1(t)x2(t)时域卷积实奇函数虚奇函数共轭虚偶函数虚偶函数翻转虚奇函数实奇函数频移实偶函数实偶函数函数的奇偶虚实性频域时域性质频域时域性质3.几种典型信号的频谱3.1单位脉冲函数((t)函数)的频谱①δ函数定义其面积（强度）：0t(t)/201/s(t)t②函数的采样性质③卷积性函数与其它信号的卷积是卷积中最为简单的一类形式。把

7、函数的卷积性质描述为：函数与其它函数的卷积示例④δ函数的频谱对δ(t)取傅里叶变换频谱特点：有无限宽广的频谱；在所有的频段上都是等强度的。均匀谱白噪声δ函数是偶函数利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对对称性频移性质时移性质（各频率成分分别移相2ft0）(tt0)(f)（单位脉冲谱线）1（幅值为1的直流量）1（均匀频谱密度函数）(t)（单位瞬时脉冲）频域时域常用的(t)函数的性质3.2正余弦函数的频谱密度函数正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅氏变换。由欧拉公式知：00ttsin2f