《同余及其基本性质》课件1

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1、2.1同余及其基本性质人教B版数学选修4-6《初等数论初步》同余是数论中一个基本概念,它的基本概念与记号都是伟大的数学家高斯引进的.它的引人简化了数论中的许多问题.本章着重讨论同余的概念及其基本性质，完全剩余系和简化剩余系，两个重要定理（欧拉定理和费马小定理）及其应用．定义1给定一正整数m（模）,若用m去除两个整数a和b所得余数相同,则称a与b对模m同余,记作ab(modm);若余数不同,则称a与b对模m不同余,记作ab(modm).定义2若m

2、(a-b),则称a与b对模m同余.定义3若a=mq+b,则称a与b对模m

3、同余.显然，a0(modm)等价于m

4、a.由同余的定义,可得下列性质:（1）自反性:aa(modm).（2）对称性:若ab(modm),则ba(modm).（3）传递性:若ab(modm),bc(modm),则ac(modm).同余的性质若a1b1(modm),a2b2(modm),则:（4）a1+a2b1+b2(modm).推论：若a+bc(modm),则ac-b(modm)（5）a1a2b1b2(modm).推论(Ι)若ab(modm)，则akbk(modm)，其中k为整数.推论(ΙΙ)

5、若ab(modm)，则anbn(modm),其中n为自然数.（7）若acbc(modm),(m,c)=d,则ab(modm/d).特别地，当(m,c)=1时，有ab(modm).（8）若ab(modm)，则akbk(modmk)，其中k为大于零的整数；若ab(modm)，d为a,b及m的任一正公约数,则a/db/d(mod(m/d)).（9）ab(modmi),(1≤i≤n),则ab(mod[m1,m2,…,mn]).（10）若ab(modm),且d

6、m,则ab(modd).思考题：1、整数a是

7、偶数的同余式为().2、整数a是偶数但不能被4整除，则其同余式为().3、已知a5(mod6)，则a被3除余().4、已知a3(mod4)，那么2a+1被4除余().例题例1有一个大于1的整数，它除300，262，205所得的余数相同，求这个数。例2有兵200余不足300，若1至3报数，最后一人报数为2，若1至5报数，最后一人报数为2，若1至7报数，最后一人报数也为2。问这一队士兵有多少人？例3某天是星期一，从这天后第22012天是星期几？例4分别求3406的个位数字和72012的末两位数字.例5证明：641

8、225

9、+1（欧拉证明了费马数F5不是素数）例6（1）求使2n-1能被7整除的一切正整数n；（2）证明：没有正整数n使2n+1能被7整除.自主学习特殊数的整除特征定理正整数a能被9整除的特征是a的数字和能被9整除.指出：同理可得到被2（或5）、4（或25）、8（或125）、3（或9）、11等数整除的特征.试证：（1）正整数a能被11整除特征是a的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除.（2）正整数a能被11整除特征是a的末三位数与末三位数之前的数之差能被11整除.（同理可证7与13也有类似特征）自主学习定理(弃九法)若ab=

10、c,其中a>0,b>0,并且,则:.可见,若,则可判断乘积ab=c是错误的,这即是弃九法之原则：“弃九余不等，计算有问题”.自主学习例8求证1997×57≠113828.证明由于19971＋9＋9＋78(mod9)575＋73(mod9)113828l+1+3+8+2+85(mod9)但是,8×3=24,而24≠5(mod9),得证.注意：使用弃九法时，若也未必肯定原计算是无误的.例如,：1997×57=113829,但有人计算结果是113838，由弃九法可得246(mod9),显然,错误未验证出来.费马数

11、当时，总是素数吗？这个问题是费马在1640年给梅森的信中宣布的一个猜想。很容易能证明，前5个费马数都是素数。到了1732年，数学家欧拉发现下一个费马数不是素数，从而否定了费马的猜想。判断题：1、若ab(modm),k为自然数，则kakb(modm),kakb(modkm).反之呢？2、若ab(modm),则a2b2(modm).反之，若a2b2(modm)，则ab(modm)TheEnd