第一章液体的物理性质和液体运动物理量的描述

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1、第一章液体的物理性质和液体运动物理量的描述1.1液体的运动用表示,求速度的拉格朗日描述与欧拉描述.[解答]速度的拉格朗日描述为再由已知条件得，此即为速度的欧拉描述。1.2一速度场用描述，（1）求其加速度的欧拉描述；（2）先求矢径表示式r=r(a,b,c,t)，再由此求加速度的拉格朗日描述；（3）求流线及迹线。[解答]（1）速度场由欧拉描述给出，直接由可知，，。（2）由，，，得再由初始条件得矢径表达式即为加速度的拉格朗日描述为流线微分方程为代入为，也即积分解之得由初始条件得流线方程为迹线方程即为拉格朗日表示的质点分布情况，消去时

2、间t后将参数方程转化为，此即为迹线方程。可知本题中的迹线方程和流线方程可化为同一方程。1.3速度场由给出，当t=1时求质点P（1，3，2）的速度及加速度。[解答]由v=(x2t,yt2,xz)得t=1时P（1，3，2）的速度为v=(1，3，2)由，，当t=1时质点的加速度即。1.5已知质点的位置表示如下：x=a,y=b+a(e-2t-1),z=c+a(e-3t-1)求：（1）速度的欧拉表示；（2）加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求（x,y,z）=(1,0,0)及（a,b,c）=(1,0,0)的值；（3）过点（1，1，1）

3、的流线及t=0时在（a,b,c）=(1,1,1)这一质点的迹线；（4）散度、旋度及迹线；（5）应变率张量及旋转张量。[解答]（1），由已知反算得（*）速度的欧拉表示为（2）对于拉格朗日表示将（*）式代入上式得欧拉表示为将（x,y,z）=(1,0,0)代入得将（a,b,c）=(1,0,0)代入得（3）流线微分方程为由z=const流线方程转化为解之得代入得：，const=1过点的流线方程为而迹线方程的参数方程即为，将t=0时（a,b,c）=(1,1,1)代入得，此即为质点迹线方程。（4）散度旋度==由旋度得涡线方程为即解之得（5

4、）速度梯度，应变率张量旋转张量1.9已知u=x+1,v=x,w=0,求（1）速度的拉格朗日描述；（2）质点加速度；（3）散度及旋度；运动是否有旋；流体是否不可压；（4）迹线及流线。[解答]（1）由,得得再由初始条件得速度的拉格朗日描述为（2）质点加速度的拉格朗日表示直接由式得质点加速度的欧拉表示由所给条件可得（也可由上述所求得的拉氏表达式转化得到）（3）散度旋度==由于旋度恒不为零，故为有旋运动，由于散度不为零，故流体为可压缩流体。（1）迹线方程的参数方程即为,（也将参数方程转化为）由流线微分方程：，因，const代入得，解之

5、得，const=c,由初始条件得流线方程为也可知由于是定常流动，迹线与流线是重合的。1.10已知u=yt,v=xt,w=0,求（1）加速度场及t=1时在x=1,y=1处的值；（2）迹线及流线及经（0，1，0）处的流线和t=1时在（1，0，0）处的迹线；（3）散度及旋度；（4）速度的拉格朗日描述。[解答]（1）加速度场，，，，当t=1时，在x=1,y=1处的值为（2）流线微分方程为，由z=const代入得，积分解得经（0，，1，0）点的流线满足，流线方程为迹线方程的参数方程，消去t后得，积分解得，由条件t=1时在（1，0，0）得

6、迹线方程为（3）散度旋度运动无旋，流体不可压。（4）由迹线方程的参数方程解出质点迹线的拉格朗日描述，由得即解出，由得由拉格朗日初始条件得，质点的迹线为速度的拉格朗日描述为1.11已知u=(a-1)et+1,v=1-(b+1)e-t,w=0,求（1）加速度场及t=1时在x=1,y=1处的值；（2）迹线及流线及经（0，1，0）处的流线和t=1时在（1，0，0）处的迹线；（3）散度及旋度。[解答]（1）由已知的拉氏场求加速度场的拉格朗日表述为又由已知u=(a-1)et+1,v=1-(b+1)e-t,w=0，得由初始条件得加速度场的欧

7、拉描述为t=1时在x=1,y=1处的加速度值（2）由上述已求得迹线方程为，要求流线方程先将速度场转化为欧拉场为由流线微分方程，即积分得，将代入得经的流线方程为求时在处的迹线时，代入迹线方程得迹线方程为（3）散度旋度==01.16已知一速度场为u=4z-3y,v=3x,w=-4x,试问此流体是否为刚体运动，证明。[解答]由已知条件得应变率张量旋转张量流体无变形，有旋转，是刚体运动。1.17对速度场求在点沿单位矢量方向的伸长速率及两正交方向及之间的剪切速率。[解答]由得在点沿方向的伸长速率为沿两正交方向的剪切速率为1.18设u=v

8、=0,w=b(a2-x2-y2),求应变率张量及旋转张量。[解答]由已知u=v=0,w=b(a2-x2-y2)得应变率张量旋转张量1.22在P点的应力张量由下式给出求（1）P点与单位法向矢量垂直的平面上的应力矢量Pn;（2）垂直于该平面的应力矢量分量；（3）n与Pn之间的夹角