随机试卷楷体

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1、应用随机过程模拟试题出题人：王赟冯维裘瑜杰宁佳晨一、填空：（3分*5=15分）1.由集合A的某些子集作为元素构成的集合称为集类，则由A构成的最简单的集类为2.一矿工困在矿井中，要达到安全地带，有三个通道可选择。他从第一个通道出去要走3h可到达安全地带，从第二个通道出去要走5h又返回原处，从第三个通道出去要走8h也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道。他到达安全地点平均花h3.简述逆向马氏性，并举一个随机过程满足逆向马氏性4.状态转移率矩阵Q如下：xyz0.50.5x0y

2、0.10Q0(0.5)z00.30.45.设通过十字路口的车流可看作泊松过程，如果1min内没有车子通过的概率为0.2，则2min内有多于一辆车通过的概率P=二、判断：（3分*5=15分）1.泊松过程与布朗运动是独立增量过程。2.记泊松过程第n个时间与第n-1个时间到达时刻为Xn，则X1，X2，…，Xn独立同指数分布。3.转移率矩阵Q=（qij），其中qi=-qii，qi=表示该状态为吸收状态。4.随机游走过程Y00,{,Ykk1}PY(k1)p0,PY(

3、k1)q0,nX00,XnkY，p

4、试求Xt,Yt的相关函数RXY。2.（10分）（1）设Nt,t0是参数为的泊松过程，计算ENtNts。（2）猜想并证明Vt与Wt（即年龄与剩余寿命）是否独立。3.（10分）设马尔可夫链{Xn，n≥0}，S={1,2,3,4}，X0=1，T14=inf{n:n≥1，Xn=4，X0=1}，转移概率矩阵为：0.20.30.40.100.20.80P=[]0.30.600.10001求：（1）πi(n)=P(Xn=i)，iϵS，n=1,2,3,4；（2）E(

5、X3)，E（X3

6、X2），E（X3

7、X1）；（3）P（T14=k

8、X0=1），1≤k≤3;（4）T44的分布律及ET44。4.（10分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.30.70P=[00.20.8]0.700.3（1）求两步转移概率P(2)及初始分布为P{X0=1}=1，P{X0=2}=P{X0=3}=0时，经两步转移后处于状态2的概率。（2）球马尔可夫链的平稳分布。（3）平稳分布情况下各状态平均回返时间。5.（10分）试证明泊松过程{Xn，n≥0}为连续时间其次马尔可夫链，求状态转移率矩阵Q

9、tQ并验证Pt()e成立。6.（7分）设随机变量序列{Xn，n≥0}，满足E

10、Xn

11、<∞，且E(Xn+1

12、X0，X1，⋯，Xn)=αXn+βXn−1，n>0，β，α>0.令Yn=Xn+bXn−1，n≥1，Y0=X0。试选择合适的α，β，b使得{Yn，n≥0}关于{Xn，n≥0}是鞅。7.（7分）试证明布朗过程{B(tn)，n≥0}中间关于两边的马氏性，即∀t1

13、)，B(ti+1)下B(ti)的条件概率密度相同。8.（6分）t2求伊藤积分，E(BsdBs()())0试卷答案：一、填空：（3分*5=15分）1.{,}A2.16h设X表示矿工到达安全地点所需时间，Y表示他选定的通道。则有EXEEXY[(

14、)]EXY(

15、1)(PY1)EXY(

16、2)(PY2)EXY(

17、3)(PY3)1[3(5EX)(8EX)]3EX=163.Brown运动4.x0，y-0.8，z0.55.0.83二、判断：（3分*5=15分）1.（√）2.

18、（√）3.（×）4.（×）5.（×）三、计算：（共70分）1（10分）REXtYt解：XYEXtaXtbtaRbRXX2（10分）ENtNts（1）解：ENtNtsNtNt2ENtNtsNtENt2ENtENtsNtENt2tsttt1ts0xt,y0（