线性代数课件--5.3向量空间的基和维

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1、1、基和维的概念2、再论线性代数方程组的解§5.3向量空间的基和维定义设V为向量空间如果r个向量a1a2arV且满足(1)a1a2ar线性无关(2)V中任一向量都可由a1a2ar线性表示那么向量组a1a2ar就称为向量空间V的一个基r称为向量空间V的维数并称V为r维向量空间注（1）只有零向量的向量空间没有基规定其维数为0（2）若把向量空间V看作向量组则向量空间V的基就是向量组的最大无关组向量空间V的维数就是向量组的秩（3

2、）向量空间的基不唯一.5.3.1基和维定义如果在向量空间V中取定一个基a1a2ar那么V中任一向量x可唯一地表示为x1a12a2rar数组12r称为向量x在基a1a2ar中的坐标在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1e2en为基则向量x(x1x2xn)T可表示为xx1e1x2e2xnen可见向量在基e1e2en中的坐标就是该向量的分量注线性空间V的任意向量在不同的基下的坐标

3、一般不同,但一个向量在一组基下的坐标是唯一的．注求一向量在一组基下的坐标表示归结为讨论线性代数方程组有无解的问题.解例设Aa1(221)Ta2(212)Ta3(122)TBb1(104)Tb2(432)T验证a1a2a3是R3的一个基并求b1b2在这个基中的坐标解所以b1b2在基a1a2a3中的坐标依次为例设Aa1(221)Ta2(212)Ta3(122)TBb1(104)Tb2(4

4、32)T验证a1a2a3是R3的一个基并求b1b2在这个基中的坐标例在R3中取定一个基a1a2a3再取一个新基b1b2b3设A(a1a2a3)B(b1b2b3)求用a1a2a3表示b1b2b3的表示式(基变换公式)并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式)即基变换公式为(b1b2b3)(a1a2a3)A1B矩阵PA1B称为从旧基到新基的过渡矩阵解由(a1a2a3)(e1e2e3)A得(e1e2e

5、3)(a1a2a3)A1故(b1b2b3)(e1e2e3)B(a1a2a3)A1B解基变换公式为(b1b2b3)(a1a2a3)A1B设向量x在旧基和新基中的坐标分别为y1y2y3和z1z2z3这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式例在R3中取定一个基a1a2a3再取一个新基b1b2b3设A(a1a2a3)B(b1b2b3)求用a1a2a3表示b1b2b3的表示式(基变换公式)并求向量在两个基中的坐标之间

6、的关系式(坐标变换公式)定理设b1、…、bs及f1、…、ft是向量空间的任两组基，则必有s=t.定义向量空间V的任一基向量的个数,称为空间V的维（dimension）,记这个数为dimV证利用等价向量组根据向量空间基的定义可知两组基等价的，从而其秩相等：由基的定义知两组向量组都线性无关，即从而由于Rn有一组明显的自然基，故有dimRn=n,即Rn是n维向量空间.若S是Rn的任一子空间，则注尽管子空间S的维可以低于n，但它的任一向量却是n维向量,亦即空间维数与向量维数是不同的概念.例考虑练习2中

7、给出的向量空间其中试求dimV1.解由于其中故知V1中任一向量x皆可依a1,a2线性表出.又因矩阵之秩为2，故a1,a2线性无关，故a1,a2是V1的基，从而dimV1=2.但是a1,a2以及V1中的任一向量x皆为4维向量.5.3.2再论线性代数方程组的解5.3.2.1齐次方程组mn齐次线性代数方程组的解集N(A)是向量空间，现在进一步指出：它的通解中元素的一般式中所含有任意常数的个数n-r(A)就是N(A)的维数dimN(A),即基础解系就是N(A)的一组基，它们线性无关，并生成N(A).齐

8、次方程组的通解式（或基础解系）不惟一确定，但通解式中独立任意常数的个数是确定的，每一任意常数对应一个基向量，而基向量个数一定是n-r(A)个.例试解齐次线性代数方程组解对系数矩阵施行初等行变换故r(A)=2,又n=4,方程组有非零解且带有n-r(A)=2常数.取等价方程组则方程组的通解为基础解系的构成及特点(1)每一个向量都是齐次方程组的解;(2)基础解系中共有n-r(A)个向量；(3)这组向量线性无关.根据通解的表达，该齐次方程组的解集可记为因为线性无关，即为N(A)的一组基，于是而通解中的两