第六章-具有约束条件的间接平差2009

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1、第六章具有约束条件的间接平差在一个平差问题中，观测数为n，多余观测数为r=n−t，t为必要观测次数。如果在平差问题中，不是选t个而是选择u>t个参数，其中包含t个独立参数，则多选择的s=u−t个参数必然是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s=u−t个函数关系，它们用来约束参数之间应该满足的关系。因此在选定u>t个参数进行间接平差时，除了n个观测方程外，还要增加s=u−t个约束参数的条件方程，故称此平差方法为具有约束条件的间接平差法。第三章已给出了具有约束条件的间接平差线性化的函数模型0⎧Vx

2、=+=+BBˆllXd−L⎪nu××11nu×n×1⎨0(6.1.1)C0CxWˆ+=W=XU+⎪XXsuu××11s×⎩s×1rk()B==+ust，rk()C=s；s

3、有约束条件的间接平差的函数模型，一共有ns+个方程；而未知数有n个观测值的残差和所选择的u个参数，即一共有nu+待求未知量。由于方程个数n+s

4、BPV+CK=0Su×nn×nn×1u×su×1s×1将函数模型的第一式代入上式后，令TTNB=PB，Wl=BP；rk(N)=ubbbbu×1uu×则可组成以下法方程组T⎧NCxKWˆ++=0bbS⎨(6.1.2)⎩C0xWˆ+=X由于rk(N)=u，所以由法方程组的第一式可得：bb−1Txˆ=−NCbb(KWS+)(6.1.3)代入法方程的第二式有−1NCKW=−N+W(6.1.4)CCSbbX这里令−1T−1TN=CNC；rk(NC)=rk(NC)=sCCbbCCbbs×sss×由于rk(N)=s

5、，即N满秩对称方阵，其逆存在。则有CCCC−−11KW=−NC(N−W)(6.1.5)SCCbbX把上式代入（6.1.3）式后，可解得−1Txˆ=−NC()KW+bbS−−1T11−=−NCbb()−NCCC()NbbWWW−X+−−−−1T111−−1T1=−()NCNCNbbCCbbNbbW−NCNbbCCWX(6.1.6)进而可得0Xˆ=X+xˆ，Vx=Bˆ+l，Lˆ=L+V至此所有待求量全部解出。二、精度估计在具有约束条件的间接平差中，精度评定同样包括单位权方差的估值公式、平差值函数的协因素和

6、相应中误差的计算公式。为此还要导出有关向量平差后的协因素阵，或称验后协因素阵。T（一）VPV的计算TVPV的计算，除直接由向量V和矩阵P计算外，还可用下述公式计算TTVVVPP=+()BxlˆTT=+VxPBˆVPlTTTTT=+()BPVxVlˆP〔BPV+CK=0〕STT=−KxVlCˆ+P〔Vx=Bˆ+l〕S117TT=−KxxllCBPˆˆ+()+STTTT=−KxxCBˆˆ+Plll+P〔Cˆx+W=0〕SXTTTTT=++llKWxPBˆPl〔W=BPl〕SXTTT=++llKWxWPˆS

7、XTTT=++llWKWxPˆ(6.1.7)XS上式可作为检核用。（二）单位权方差的计算单位权方差的估值公式仍然是残差加权平方和除以平差问题的自由度（多余观测数）TTT2VPVVPVVPVσˆ===(6.1.8)0rn−tn−(u−s)它与平差时如何选取参数Xˆ无关。关于上式的一个严格证明方法如下：因为具有约束条件的间接平差的函数模型为0⎧V=+BBxllˆ=+−XdL⎨0⎩C0CxWˆ+=W=+XUXX如果以真值表示，则为0⎧Δ=+BBxll%=+−XdL⎨0⎩C0CxW%+=W=+XUXX以上两式

8、相减有⎧Vx=−+B()ˆx%Δ⎨⎩C0()xxWˆ−%+=′X以(xˆ−~x)→xˆ，l→Δ，WW′=0→XXT组成新的函数模型，则得W=BPΔ，进而根据（6.1.7）有TTTTTTVVllWKWxPP=++=+ˆˆΔPΔΔPBxXS另外，由（6.1.6）式可得−−−−1T111−−1T1xWˆ=−()NCNCNbbCCbbNbb−NCNbbCCWX−−−−1T111T=−()NCNCNbbCCbbNBPbbΔ把上式代入到前一式式后可得TTTVVP=+