北大数学考研精讲

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1、习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算第十一章一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终练习题:P244题3(1),(3),(6)解答提示:计算其中L为圆周提示:利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则P2443(1)P2443(3).计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:P2443(6).计算其中由平面y=z截球面提示:因在上有故原式=从z轴正向看沿逆

2、时针方向.(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧例1.计算其中为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(的重心在原点)例2.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心、解法1令则这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周.解法2它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段思考题解答:(1)(2)证:把例3

3、.设在上半平面内函数具有连续偏导数,且对任意t>0都有证明对D内任意分段光滑的闭曲线L,都有两边对t求导,得:则有因此结论成立.(2006考研)计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.练习题:P244题3(5);P245题6;11.3(5).用格林公式:P2456.设在右半平面x>0内,力构成力场,其中k为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示:令易证F沿右半平面内任意有向路径L所作的功为P24511.求力沿有向闭曲线所作的其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三提示:方法1从z轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角

4、形的整个边界,功,设三角形区域为,方向向上,则方法2利用公式斯托克斯公式例4.设L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记为平面上L所围部分的上侧,D为在xOy面上的投影.由斯托克斯公式公式D的形心二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分的特例.2)设曲面问下列等式是否成立?不对!对坐标的积

5、分与的侧有关2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化练习:P244题4(3)其中为半球面的上侧.且取下侧,原式=P244题4(2),P245题10同样可利用高斯公式计算.记半球域为,高斯公式有计算提示:以半球底面为辅助面,利用例5.证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证设为简单闭曲面,a为任意固定向量,n为的例6.计算曲面积分其中,解:思考:本题改为椭球面时,应如何计算?提示:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯

6、公式.例7.设是曲面解:取足够小的正数,作曲面取下侧使其包在内,为xOy平面上夹于之间的部分,且取下侧,取上侧,计算则第二项添加辅助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!得例8.计算曲面积分中是球面解:利用对称性用重心公式作业P2443(2),(4);4(2)5;9备用题1.已知平面区域L为D的边界,试证证:(1)根据格林公式①②所以相等,从而左端相等,即(1)成立.(2003考研)因①、②两式右端积分具有轮换对称性,(2)由①式由轮换对称性(1)在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是2.地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机

7、能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为H=0.25R,卫星绕地球一周的时间为T,试求(2)在解:如图建立坐标系.的时间内,卫星监视的地球表面积是多少?多少?设卫星绕y轴旋转(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为(2)在时间内监视的地球表面积为点击图片任意处播放开始或暂停注意盲区与重复部分其中S0为盲区面积(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为(2)在其中盲区面积时间内监视的地球表面积为斯托克斯(Stokes)公式