中山大学2003高等代数试题

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1、中山大学2003高等代数试题1．（10分）设Axb为四元非齐次线性方程组，矩阵A的秩为3，已知xxx,,是它的三123个解向量，且x(4,1,0,2),xx(1,0,1,2);试求该线性方程组的通解。1232．（10分）设向量组,,...线性无关，向量可由它线性表示，而向量不能由它12m12线性表示；证明：向量组,,...,线性无关。12m121000a1003．（15分）设矩阵A;问aaabbc,,,,,为何值时，A与对角阵相似。121ab201abc22134．（15分）已知R的线性变换T在基

2、(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)下的矩阵为123101A110;求T在基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)下的矩阵及T的值域与核。1233215．（20分）设A为n阶实方阵(n3)，证明：（1）若A的每一个元素都等于它的代数余子式，且至少有一个元素不为零，则AAI。（I为n阶单位矩阵，为A的转置）；（2）若｜Ａ｜0，则存在正交阵P与正定阵B使得A＝PB。中山大学2004年高等代数试题（70分）1．（10分）计算下列n阶行列式：210...00121...00D012...00n..

3、......000...122．（10分）设,,...,是数域P上线性空间V中一线性无关向量组，讨论向量组12n,,...,的线性相关性。1223n11003．（10分）设A＝101.010nn22（1）.证明：AAAI.100（2）.求A.21134．（20分）设R的线性变换在标准基下的矩阵A＝121.112（1）.求A的特征值和特征向量.3（2）.求R的一组标准正交基，使在此基下的矩阵为对角矩阵.5．（20分）设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换如下：2(

4、,),V证明：（1）.为第二类的正交变换（称为镜面反射）.（2）.V的正交变换是镜面反射的充要条件为1是的特征值，且对应的特征子空间的维数为n－1.中山大学2005年二、高等代数（70分）1（15分）由三个函数1，cost，sint生成的实线性空间记为V，求线性变换TV:Vft,()aft()的迹、行列式和特征多项式。3TT2（15分）设A是秩为n的mn实矩阵，b为m维向量，若n维向量x满足AAxAb，证明对一切不等于x的n维向量y，有

5、bAx

6、

7、bAy

8、。（注.

9、

10、x(,)xx）010...0a0aa12...an

11、1001...0an1aa01...an23（15分）设A............，复矩阵Baaa...a，n2n10n3000...1...................100...0aaa...a1230（1）A是否相似于对角矩阵？（2）求B的行列式。4（15分）证明实线性空间的线性变换必有1维或2维的不变子空间。5（10分）证明正定矩阵的最大元素位于对角线上。中山学二O-○年攻读硕士学位研究生入学考试试题:考生须知:科目代码:fgT4一律写在答题纸∶全部答案:科目名称:高等代数:上,

12、答在试题纸上的不得分!请::用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答。∶考试时间:1月10日下午j:作郢雾胃昃甲尹:犁妒罂l。¨“’重要提示:本试题分为高等代数、数据库两套题目,请报考非信息工程方向考生选择高等代数“”作答,报考信息工程方向考生选择数据库作答(选错题目者,不予计分,所造成的后果由考生自“”行负责)。请在答题纸上注明试题名称,例如:选择高等代数者,首先在答题纸写上:高等代数,再另起一行作答高等代数试题一填空题(每小题10分,只写答案,不写计算过程.)请把答案按颀序写在答题纸上1.设U=伽∈M2(F,:曰11+口】2=0l,/=l/∈M2(0∶εll十曰21=0

13、l,则σ十7的维数簧。(″“F)表示数域F上所有2阶方阵构成的F上线性空间,)2.设q=G,0,⑷,e2=G,2,l,,召3=tO,2D∈R3,(/l,/z,尼)与(q,纟2,召3)互为对偶基,则对孑y=←l宀,丌3)∈R3,有￡⑴=___,尼←)=____,兑←)=~___·3.设以=@v)刀初的所有对角元都等于2,当u-川=1时,9/J其他元都是0,则以的行列式detⅡ等于F[V吧4.设/←)是疟次域F~L的刀次多项i戈,令(歹)=lg←)∶g∈F卜],/丨g},贝刂i商空间篚宀维数等于5.已知线性变换σ∶R3→R3,c「(jr,JP,z)=(石+?,/+2

14、z,2艿十+2y+z),