线性代数终极总结

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1、概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确一、行列式与矩阵aaaL11121naaaLnt(i12ii...)n行列式的定义D=21222n=åå(-1)1t()j12jjLnaaLa=(-)aaa×××nMMM1j12j2njnni1212iinj12jLjnnii,×××aaaLn12nnnìA可逆ïr()An=ïïA的列（行）向量线性无关ïïA的特征值全不为0ïAx=o只有零解Û"x¹¹oo，Axïnï"bbÎ=R,Ax总有唯一解A¹Û0íTAA是正定矩阵ïïAE@ïA=pp×××pp是初等阵ï12siï存在n阶矩阵B,使得AB==E或A

2、BEïnïA的列（行）向量是R的一组基ïnîA是R的某两组基的过渡矩阵n评注全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间.ìA不可逆ïr()An<ïïA=Û0íA的列（行）向量线性相关ï0是A的特征值ïïîAxA==ol有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量ìïr()aE+

3、e,ee,,×××线性无关；12n③e,ee,×××=,1；12nnn④tr=Eåanii=；åaii（即主对角元素之和）ii=1⑤任意一个n维向量都可以用e,ee,,×××线性表示.12n逆序数：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，逆序数为奇数叫做奇排列。为偶数叫做偶排列。奇排列变成偶排列对换次数为奇数。反之相同一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性（即tt=-(1)）21设排列为aLaabLLbbcc，作m次相邻对换后，变成aLaabbLLbcc，再作m+1次相1l11mn1l11mn邻对换后，变成aLabbLLbacc，共经过21m+次相邻

4、对换，而对不同大小的两元素每次1l11mn相邻对换逆序数要么增加1，要么减少1，相当于tt=-(1)，也就是排列必改变改变奇偶性，2121m+21m+次相邻对换后t=(-11)tt=-()，故原命题成立。211n阶行列式的6大性质部分证明请看p教材9性质1：行列式与它的转置行列式相等性质2：互换任意行(列)式的两行列行列式变号。推论：如果有两行(列)相同，行列式为0性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用k乘以行列式推论：行列式的某一行(列)的所有元素的共因子可以提到行列式的外面。性质4：行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于

5、零。性质5：任意行列式可按某行(列)分解为两个行列式之和。性质6：把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后再加到另一行(列)上，行列式不变。nn(-1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则DD=-(1)2；11nn(-1)将D顺时针或逆时针旋转o290，所得行列式为D，则DD=-(1)22将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则DD=p33教材27将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则DD=442kCn行列式按某一行或一列元素的代数余子式展开定理：拉普拉斯定理D=åMAiii=1nì1,ik=按第i行展开åaijADkj==ddik其中：ik

6、íj=1î0,ik¹nì1,j=k按第j行展开åaijADik==ddjk其中：jkíi=1î0,j¹k克莱姆法则p教材53n元非齐次线性方程组：ìax+ax+L+=axbaaaL11112211nn11121nïïax+ax+LL+=axbaaa2112222nnn221222íÞ=DD¹Þ0方程组有唯一解：LLLLLïïax+ax+L+=axbaaaîn11n22nnnnn12nnnDDD12nx=,xx==,L,。其中D(jn=1,2,L,)是将D中的第j列元素换成常数b,bb,L,，12nj12nDDD其余元素不变而得到的行列式。如果b=bb=L==0

7、，对应方程组叫齐次线性方程组。12n用D中第j列元素的代数余子式A12j,Aj,L,Annj依次乘方程组的(1,)个方程得ì(a11x1+a12x2+L+=a1nxn)A1jjbA11ï证明：ï(a21x1+a22x2+L+=a2nxn)A2jjbA22íLLLLLLLLLLLLïïî(an1x1+an22x+L+=annxn)AnjbAnnjnnnnæöæöæö再把n个方程依次相加，得çåak11Akj÷x+LL+çåakjAkj÷xj++=ç÷ååaknAkjxnbAkkj,èk=1øèk=1øèøkk==11由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于D,

8、而其余x(i¹jD)的系数均为0;.又