初中数学圆中的分类讨论

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1、初中数学圆中的分类讨论由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。 一、点与圆的位置关系不唯一性 　　例1.若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（  ）。 （A）  （B） （C）或   （D）a+b或a－b 分析：P可能在圆内，也可能在圆外。 　　　　　       

2、     图1—1                     图1—2   ⑴P在圆内时。如图1—1。 连接O、P所在的直线交⊙O于A、B。 则PA=a，PB=b 直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b） ⑵P在圆外时。如图1—2。 此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=AB=（a－b） 由⑴⑵可知，应选（C）。 　二、弦与弦的位置关系不唯一性 　　例2.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（  ）。 （A）7cm   （B）8cm  （C）7cm或1cm    （D1

3、cm 分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。 　　　　　　　　　　　　　             图2—1                        图2—2 ⑴弦AB与CD在圆心的同侧。如图2—1。 过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。 ∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD 由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm 在Rt△BMO中，OM==4cm，同理ON=3cm ∴MN=OM－ON=4－3=1cm ⑵弦AB与CD在圆心的异侧。如图2—2。 此时，MN=OM+ON=4+

4、3=7cm       故选（C）。 　　例3．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。 分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。 　　　　　 ⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图3—1。 连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC= ∴OC+OD=AC∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45° 又OA=OD=AD，∴∠DAO=60° ∴∠DAC=∠DAO－∠CAO=15° ⑵弦AC与弦AD在直径AB的异侧。 此时，∠DAC=∠DAO+∠CAO=

5、115° 　　三、点在直径上的位置不唯一性 　　例4．已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？ 分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。  ⑴M在半径OA上。如图4—1。 连接OC。OC=OA=AB=5cm， 又OM：OA=3：5，∴OM=3cm ∵AB是直径，弦CD⊥AB     ∴在Rt△OMC中， MC==4cm 又AM=OA－OM=2cm ∴在Rt△AMC中，AC===2（cm） ⑵M在半径OB上。如图4—2. 此时，AM=OA+OM=8cm AC===4（cm） 四、弦所对圆

6、周角的不唯一性 　　例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（  ）。 30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°（A）      （B）     分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧， 因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。 如图5。劣弧所对的角为∠ACB，优弧所对的角为∠ADB。  由AB=0A=OB，∴∠AOB=60° ∴∠ACB=∠AOB=30° ∠ADB=（360°－∠AOB）=（360°－60°）=150°  故选（D） 　　五、圆与圆的位置关系不唯一性 　　例6．如

7、果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（  ）。 5cm（B）11cm（C）3cm（D）11cm或5cm（A）      （B）     分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。 　　　　　　             ⑴两圆外切。如图6—1。AB=8+3=11cm ⑵两圆内切。如图6—2。AB=8－3=5cm   故选（D） 　　六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性 　　例7．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为          。 分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可

8、能在公共弦的异侧。    ⑴圆心在公共弦的异侧。如图7—1。 连接OA，OA。由圆的对称性，OO垂直平分公共