讨论主题－白噪声的产生

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1、中科院研究生院2009～2010第一学期随机过程在工程中的应用讲稿孙应飞白噪声的产生方法1.1白噪声及其产生方法1.1.1白噪声的概念●白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程）2相关函数：R(τ)=σδ(τ)W2谱密度：S(ω)=σ−∞<ω<+∞W近似白噪声过程2σ,ω≤ω0谱密度：SW(ω)=（ω0为给定的远大于过程的截止频率）0,ω>ω02σωsinωτ00相关函数：R(τ)=⋅Wπωτ0讨论白噪声时，还要涉及到白噪声的概率分布，服从正态分布的白噪声称为高斯白噪声。n维白噪声：一个n维随机过程W(

2、t)满足：E{W(t)}=0Cov{W(t),W(t+τ)}=E{W(t)W(t+τ)}=Qδ(τ)其中Q为正定常数矩阵，则称W(t)为n维白噪声过程。●白噪声序列白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列{W(k)}满足：2相关函数：R(l)=σδ,l=0,±1,±2,LWl则称为白噪声序列。∞−jωl2谱密度：SW(ω)=∑RW(l)e=σl=−∞1.1.2表示定理与成形滤波器●表示定理设平稳噪声序列{e(k)}的谱密度S(ω)是ω的实函数，或是cosω的有理函数，e那么必定存在一个渐近稳定的线性环节，使得如果环

3、节的输入是白噪声序列，则环节的输出是谱密度为S(ω)的平稳噪声序列{e(k)}。e●成形滤波器表示定理中所涉及到的线性环节称为成型滤波器。白噪声w(k)线性环节（成型滤波器）有色噪声e(k)可以证明：如果{e(k)}的谱密度S(ω)是cosω的有理函数，那么一定存在一个e1中科院研究生院2009～2010第一学期随机过程在工程中的应用讲稿孙应飞成型滤波器，它的脉冲传递函数为：−11+cz−1+L+cz−nc−1D(z)1ncH(z)==C(z−1)1+dz−1+L+dz−nd1nd−1−1且C(z),D(z)的根都在z平面

4、的单位圆内。●例子设平稳有色噪声序列{e(k)}的自相关函数为：2lσaR(l)=,l=0,±1,±2,L;a<1e21−a则相应的功率谱密度函数为：2σS(ω)=,−π<ω<π;a<1e221−2acosω+a成型滤波器的脉冲传递函数为：−1σH(z)=,a<1−11−az假定e(0)=0，则有：k−1e(k)=σ[w(k)+aw(k−1)+L+aw(1)]相关函数计算可得：2kl2l1−a2aR(l)=σa≈σe221−a1−a2.5.3(0,1)均匀分布随机数的产生白噪声序列称为随机数。三类方法：Rand百万随机数、

5、物理方法、数学方法ξ=f(ξ,ξ,L,ξ)i+1ii−11产生伪随机数。●乘同余法第一步：递推式x≡Ax(modM),i=1,2,3,Lii−1k其中M=2,k>2，A≡3(mod8)或A≡5(mod8)，A不能太小。初值x取正0奇数。xi第二步：ξ=,i=1,2,3,LiMk−2可以证明{ξ}是伪随机数，循环周期为2。i计算机上的实现：令L{x}为取数x的小数部分，则有ξ=L{Aξ},ξ=x/Mii−100●混合同余法∗∗第一步：递推式x≡Ax+c(modM),i=1,2,3Lii−1kn其中：M=2,k>2，A≡1(m

6、od4)，即A=2+1,2≤n≤34，c为正整数，∗初值x为非负整数。0∗∗xi第二步：ξ=iM2中科院研究生院2009～2010第一学期随机过程在工程中的应用讲稿孙应飞∗k可以证明{ξ}是周期为2的伪随机数。i2.5.4正态分布随机数的产生●理论基础：定理2.2设ξ是（0，1）均匀分布的随机变量，F(x)是给定的连续分布函数，它的逆−1−1函数记做F(x)，则η=F(ξ)是服从F(x)分布的随机变量，即：F(x)=P{η≤x}=F(x)η以此定理为基础，可以产生任意分布的随机数。−1注意：若ξ~(0,1)，则1−ξ~(0

7、,1)，因此F(1−ξ)也是服从F(x)分布的随机变量。●统计近似抽样法由于正态分布函数的逆函数的解析式无法求得，我们利用中心极限定理产生正态分布的随机数。设{ξ}是（0，1）均匀分布的随机数序列，则有：iµξ=E{ξi}=1/22σ=Var{ξ}=1/12ξi由中心极限定理，有NNN∑ξi−Nµξ∑ξi−i=1i=12x==~N(0,1)2N/12Nσξ2若η~N(µ,σ)，则有ηηNN∑ξi−η−µηi=12=2N/12ση即有NN∑ξi−i=12η=µ+σηηN122由此可得正态分布η~N(µ,σ)的随机数。η

8、η取N=12时，有12η=µη+ση∑ξi−6i=1●变换抽样法理论依据：设ξ和ξ是相互独立的（0，1）均匀分布随机变量，则121η=()−2lnξ2cos2πξ1121η=()−2lnξ2sin2πξ2123中科院研究生院2009～2010第一学期随机过程在工程中的应用讲稿孙应飞