【中考数学压轴题的解题策略12讲】1等腰三角形的存在性问题解题策略

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1、§1.1　因动点产生的等腰三角形问题　例12008年温州市中考第24题24．（本题14分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；ABCDERPHQ（第24题图）（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若

2、不存在，请说明理由．24．（本题14分）解：（1），，，．点为中点，．，．，，．（2），．，，，，即关于的函数关系式为：．（3）存在，分三种情况：ABCDERPHQM21①当时，过点作于，则．，，．，，ABCDERPHQ，．ABCDERPHQ②当时，，．③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，．11，，．综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．　例22008年重庆市中考第28题28、（10分）已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段A

3、B上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。28题图1111CMOxy1234图7A1BD　例32009年上海市中考第24题24．（本题满分12分，每小题满分各4分）在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴（如图7所示）．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相

4、交于点，联结．（1）求的值和点的坐标；（2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以为半径的圆与圆外切，求圆的半径．解：（1）点B（—1，0），代入得到b=1直线BD：y=x+1Y=4代入x=3点D（3，1）（2）1、PO=OD=5则P（5，0）2、PD=OD=5则PO=2*3=6则点P（6，0）3、PD=PO设P（x，0）D（3，4）则由勾股定理解得x=25/6则点P（25/6，0）（3）由P，D两点坐标可以算出：1、PD=2r=5—22、PD=5r=13、PD=25/6r=0　例4

5、2009年上海市宝山区中考模拟第24题24、在直角坐标系中，把点A（﹣1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到A′，经过点A、A′的抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的纵坐标为2．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标为O1A=O1B，且，若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标．11考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定；坐标与图形变化-平移。专题：分类讨论；待定系数法。分析：（1）把点A，A′和（0，2）代入解析式用待定系数法求解；（2）根据题意可设点B的坐标为

6、（1，m），利用等腰三角形的两边相等作为等量关系列式子关于m的方程，要注意本题有三种情况，要分别列举，当AP=PB时；当AP=AB时；当PB=AB时，分别计算不要漏解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，点A（﹣1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点A'（3，a），（1分）∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为2，∴c=2，（1分）∵图象经过点A（﹣1，a），A'（3，a），∴，（1分）解得，（2分）∴这条抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2；（1分）（2）由y=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3得P（1

7、，3），，（1分）∵△ABP是等腰三角形，点B的坐标为（1，m），且m＜3，（Ⅰ）当AP=PB时，，即，（1分）∴；（1分）11（Ⅱ）当AP=AB时，（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣3）2=（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣m）2，解得m=3，m=﹣5，（1分）m=3不合题意舍去，∴m=﹣5；（1分）（Ⅲ）当PB=AB时，（1﹣1）2+（3﹣m）2=（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣m）2，解得．（1分）∴当或﹣5或时，△ABP是等腰三角形．点评：本题考查图形的平移变换和待定系数法求二次函数的解析式和利用等腰三角形的性质求点的坐标，此题是典型的数形结

8、合综合性习题．　例52009年上海市黄浦区中考模拟第25题25.（本题满分14分）如图，在中，，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形.（1）试求的面积；（2）当边与重合时，求正方形的边长；（3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；（4）