Duhamel项的精细积分方法在非线性微分方程数值求解中的应用

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1、第２７卷第５期计算力学学报Ｖｏｌ．２７，Ｎｏ．５２０１０年１０月ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＭｅｃｈａｎｉｃｓＯｃｔｏｂｅｒ２０１０文章编号：１００７－４７０８（２０１０）０５－０７５２－０７Ｄｕｈａｍｅｌ项的精细积分方法在非线性微分方程数值求解中的应用谭述君＊，高强，钟万勰（大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，大连１１６０２３）摘要：基于Ｄｕｈａｍｅｌ项的精细积分方法，构造了几种求解非线性微分方程的数值算法。首先将非线性微分方程在形式上划分为线性部分和非线性部分，对非线性部分进行多项式近似，利用Ｄｕｈａｍｅｌ积分矩阵，导出了非线性方程求解的一般格式。然后

2、结合传统的数值积分技术，例如Ａｄａｍｓ线性多步法等，构造了基于精细积分方法的相应算法。本文算法利用了精细积分方法对线性部分求解高度精确的优点，大大提高了传统算法的数值精度和稳定性，尤其是对于刚性问题。本文构造的算法不需要对线性系统矩阵求逆，可以方便的考察不同的线性系统矩阵对算法性能的影响。数值算例验证了本文算法的有效性，并表明非线性系统的线性化矩阵作为线性部分是比较合理的选择。关键词：非线性；Ｄｕｈａｍｅｌ积分；精细积分方法；Ｔａｙｌｏｒ级数展开；Ａｄａｍｓ线性多步法；刚性中图分类号：Ｏ２４１．４文献标识码：Ａ到“计算机上的精确解”，并且不需要矩阵的求逆运１引言算。这为基于精细积分方法构造稳定

3、性好、精度高非线性现象广泛存在于力学、化学及生命等领的非线性微分方程求解算法提供了方便和保证。域，是科学界研究的热点课题之一。然而，非线性本文在Ｄｕｈａｍｅｌ项的精细积分方法的基础微分方程的解析解很难得到，因此发展稳定性好、上，提出了一种构造非线性微分方程数值算法的思精度高的数值方法具有重要意义。钟［１］提出的动路，并结合传统数值积分技术（主要是Ｔａｙｌｏｒ级数力方程的时程精细积分方法，因其高精度、高稳定展开的单步法和Ａｄａｍｓ线性多步法），导出了相应性特点，被广泛应用于非线性问题的研究中［２－７］。的递推格式，并分析了算法的精度，数值算例验证了算法的有效性。本文还对Ｄｕｈａｍｅｌ项的精细积应

4、用精细积分方法时，关键在于如何有效地处理非分方法的快速计算作了改进。齐次项引起的Ｄｕｈａｍｅｌ积分，通常有三种方式，［１，５］［４，７］钟、林格式，增维方法以及直接数值积分技２基本格式［２，３］术，这些方法或需要线性矩阵的求逆运算，或对于非线性微分方程，可以在形式上将右端项增加计算量，或忽视了矩阵指数的特点而减低精分离成线性和非线性部分，描述为［８］度，有其局限性。因此，选择处理Ｄｕｈａｍｅｌ积分·ｘ＝Ａ０ｘ＋ｆ（ｘ，ｔ），ｘ（０）＝ｘ０（１）项的合适方法，对于构造高效、高精度的非线性数式中Ａ０和ｆ（ｘ，ｔ）分别为形式上的线性定常矩阵值方法有重要意义。和非齐次项。这种划分可以是物理上的，也可以

5、完文献［８］提出了Ｄｕｈａｍｅｌ积分项的精细积分全是数学上的。本文对于Ａ０的性态不做任何要求。方法，指出对于多项式、指数、正（余）弦函数及其组对于式（１）描述的非线性动力方程的解，采用合函数的非齐次项，其Ｄｕｈａｍｅｌ积分项也可以得Ｄｕｈａｍｅｌ积分描述为ｔ收稿日期：２００８－０９－２７；修改稿收到日期：２０１０－０１－２３．ｘ（ｔ）＝ｅｘｐ（Ａ０ｔ）ｘ（０）＋ｅｘｐ（Ａ０（ｔ－τ））·基金项目：国家自然科学基金（１０６３２０３０）；高等学校博士学∫０科点专项科研基金（２００７０１４１０６７）资助项目．ｆ（ｘ，τ）ｄτ（２）作者简介：谭述君＊（１９７９－），男，博士（Ｅ－ｍａｉｌ：ｔａｎｓｊ＠

6、ｄｌｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ）；由上式可以导出区段［ｔｋ，ｔｋ＋１］上的解，高强（１９７８－），男，博士，讲师；ηｘｋ＋１＝ｅｘｐ（Ａ０η）ｘｋ＋ｅｘｐ（Ａ０（η－τ））·钟万勰（１９３４－），男，教授，中国科学院院士．∫０第５期谭述君，等：Ｄｕｈａｍｅｌ项的精细积分方法在非线性微分方程数值求解中的应用７５３ｆ（ｘ，ｔ１（η）＋Ｃ２（η）＋…）（６）ｋ＋τ）ｄτ（３）ＣｍΦｍ－１ｍΦｍ－２即用Ｄｕｈａｍｅｌ积分表示的式（１）的递推格式，其式中Ｃｊ是二项式展开系数，ｍ中，引入了标记η＝ｔｋ＋１－ｔｋ，ｘｋｘ（ｔｋ）。ｊｍ！Ｃｍ＝＝式（３）的递推解中，右端第二项（Ｄｕｈａｍｅｌ积ｊ！（ｍ－ｊ）！分项）

7、是含有矩阵指数函数的积分，在处理时应充ｍ·（ｍ－１）·…·（ｍ－ｊ＋１）（６ａ）ｊ！分利用矩阵指数函数的性质。有了加法定理，就可以对基本区段η进行精细在区段ｔ∈［ｔｋ，ｔｋ＋１］内，对非线性项ｆ（ｘ，ｔ）采划分了，记精细区段τ为用ｍ次多项式近似为Ｎ，一般取Ｎ＝２０（７）ｍτ＝η／２ｆ（ｘ，ｔｋ＋τ）＝ｆ０，ｋ＋ｆ１，ｋτ＋…＋ｆｍ，ｋτ将矩阵指数的级数表达式：τ∈［０，η］（４）∞ｊｊＡ０ｔ式中ｆ