非圆曲线宏程序加工实例讲解(倾斜)10

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1、倾斜非圆曲线的数控车削宏程序的编制　　2006年全国数控技能大赛北京决赛考试中，教师组数控车工软件考试中有一道特殊的宏程序题目，一段圆弧上均匀分布着多个首尾相连的椭圆曲线，给出宏程序要求找出其中的错误，图形示意图如图1所示(图形对比原题不一样，其中的尺寸是作者自己标注的)。一般非圆曲线的轴线都是与Z轴(或X轴)平行或者重合的(见图2)，这种非圆曲线的编程难度并不大，掌握非圆曲线加工的基本原理和学会曲线中心点的坐标偏移就可。但本文中所涉及到的题目则有其特殊之处，椭圆的轴线与Z轴(或X轴)不平行，而

2、是成一定的角度，整个椭圆是倾斜形状的，这种图形在数控铣床(或加工中心)上编程根本不存在难度，使用G68坐标旋转指令即可解决问题，但是在数控车削编程中没有G68坐标旋转指令，手工编程存在相当的难度，所以仅仅在软件仿真考试中给出程序并要求改正错误。　　一、坐标旋转的数学基本原理　　非圆曲线的宏程序编制都是基于对非圆曲线数学公式、图形特点的分析之上，所以良好的数学基础是编制宏程序的前提。要编制上面题目中有一定难度的宏程序，更需要深层次的数学知识。相同的题目，可以使用多种不同的数学方法解决，有简有繁，相

3、应宏程序编制也不相同。　　非圆曲线倾斜相当于把正常的坐标系和图形绕原点旋转了一个α角度所得到的图形和坐标系(见图3)。　　假设曲线上的一点P(见图4)，已知在XOY坐标系中的坐标为(X，Y)，坐标系和图形旋转一个角度α以后，P点旋转后所在的位置为P*，P*点在原来XOY坐标系中的坐标为(X*，Y*)即为我们所求的坐标数值，由已知的P点的坐标数值(X，Y)和旋转角度α通过多种数学处理方式和转换可以求出P*点的坐标数值(X*，Y*)。　　1.采用二维图形的变换矩阵进行旋转点的坐标计算　　在计算机绘图

4、基本原理中，二维图形的基本变换是通过矩阵运算进行的。在二维空间内，一个点的坐标可以表示为一个行向量

5、X Y

6、，一个二维空间点的坐标变换即为一个行向量

7、X Y

8、和一个2×2阶变换矩阵的相乘运算，得到新点的坐标(X*，Y*)。二维图形上的每一个点的处理都是如此。2×2阶变换矩阵不同，可以得到图形的平移、镜像、旋转、比例和缩放等多种变换形式。　　在本文讨论的题目中只涉及到图形的旋转变换，图形的偏移是通过其他方式处理的，因此只介绍图形的旋转变换矩阵，并且只介绍绕坐标原点旋转变换的2×2变换矩阵：　　对于

9、点P坐标(X，Y)进行α角度的旋转变换，通过行向量

10、XY

11、与变换矩阵T相乘运算以后，变换后P*点坐标为：　　2.采用平面解析几何计算旋转点的坐标　　图4中XOY坐标系中P点的坐标为(X，Y)，绕原点旋转α角度后得到X*OY*坐标系和点P*，要求出点P*在XOY坐标系中的坐标(X*，Y*)。辅助线的作法(见图5)。　　(1)过点P分别向X、Y轴作垂线，得垂足A、B，那么

12、OA

13、=X，

14、OB

15、=Y。　　(2)过点P*分别向X*、Y*轴作垂线，得垂足A*、B*，那么

16、OA*

17、=X，

18、OB*

19、=Y。　　

20、(3)过点P*分别向X、Y轴作垂线，得垂足C、F。　　(4)过垂足点A*向P*C作垂线，得到垂足E，过垂足点A*向X轴作垂线，得到垂足D。分析图形中各线段的几何关系：　　P*在XOY坐标系中的坐标为(X*，Y*)，X*=

21、OC

22、，Y*=

23、OF

24、，只要求出

25、OC

26、和

27、OF

28、的长度即可。　　(1)X*坐标(

29、OC

30、长度)的求法。　　在X坐标轴上，

31、OC

32、=

33、OD

34、-

35、CD

36、，在直角三角形中OA*D中(见图6)，已知角度α，

37、OA*

38、=X，那么有：　　

39、OD

40、=

41、OA*

42、·COS(α)=X·COS(α

43、)①　　在矩形CEA*D中，

44、CD

45、=

46、EA*

47、，在矩形OB*P*A*中，　　

48、P*A*

49、=

50、OB*

51、=Y，分析直角三角形P*A*E(见图7)，已知

52、P*A*

53、=Y和角度α，那么有：　　

54、EA*

55、=

56、P*A*

57、·SIN(α)=Y·SIN(α)=

58、CD

59、②　　P*点的X*坐标

60、OC

61、=

62、OD

63、-

64、CD

65、=X·COS(α)-Y·SIN(α)。　　(2)Y*坐标(

66、OF

67、长度)的求法。　　在矩形OFP*C中，

68、OF

69、=

70、P*C

71、=

72、P*E

73、+

74、EC

75、，只要求出

76、P*E

77、和

78、EC

79、即可。　　在直角三角形

80、P*A*E中(见图7)，已知

81、P*A*

82、=

83、OB*

84、=Y角度α，那么有：　　在矩形CEA*D中，

85、EC

86、=

87、A*D

88、，分析直角三角形OA*D(图6)，已知

89、OA*

90、=X和角度α，那么有： 　　P*点的Y*坐标从而确定P*点坐标求解公式为：　　3.采用三角函数方法计算旋转点的坐标　　已经知道平面上一点P的坐标为(X，Y)，

91、OP

92、为原点O至P点的线段，

93、OP

94、线段与X轴的夹角为θ(如图8所示)，那么有：　　当坐标系绕原点旋转角度α以后，P*点为旋转后P点的位置，旋转后

95、OP

96、线段的长度保持不变，

97、