数学试题期未考试用

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1、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D. （1）当∠BQD=30°时，求AP的长； （2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．（2014南长区二模）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分

2、割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠C=20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC=20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．（1）如图2，在△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．请在图中画出△ABC的关于点B的伴侣分割线，并标注角度；（2）在△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x之间满足怎样的关系时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.（1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的

3、条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数。解（1）证明：∵在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS）。（2）∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC。∴∠EBC=∠ECB。∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°。试题解析：（1）如图所示：（2）DE∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=

4、∠BDE，∴DE∥AC．解：（1）如图所示： （2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况． 第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形， 易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC=∠C=x． 当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°﹣x， 当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°+x， 当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时x=45°且y＞x； 第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形， 当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线， 此时180°﹣x﹣y

5、=y﹣90°，∴y=135°﹣x， 当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线， 此时∠A=45°，∴y=135°﹣x． 综上所述，当y=90°﹣x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°﹣x或y=135°﹣x时△ABC存在伴侣分割线．解法一：过P作PE∥QC                        则△AFP是等边三角形，∵P、Q同时出发、速度相同，即BQ=AP∴BQ=PF∴△DBQ≌△DFP,∴BD=DF∵,∴BD=DF=FA=,∴AP=2.解法二：  ∵P、Q同时同速出发，∴AQ=BQ设AP=BQ=x，则PC=

6、6-x，QC=6+x在Rt△QCP中，∠CQP=30°,∠C=60°∴∠CQP=90°∴QC=2PC,即6+x=2（6-x）∴x=2∴AP=2（2）由（1）知BD=DF而△APF是等边三角形，PE⊥AF, ∵AE=EF又DE+(BD+AE)=AB=6, ∴DE+(DF+EF)=6， 即DE+DE=6 ∵DE=3为定值，即DE的长不变