经济类考研数学

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1、经济类考研数学模拟试题选讲（微积分部分）2⎧2−xx≤0⎧xx<01.设g(x)=⎨，f(x)=⎨，则g[f(x)]=（）⎩x+2x>0⎩−xx≥022⎧2+xx<0⎧2−xx<0A.⎨B.⎨⎩2−xx≥0⎩2+xx≥022⎧2−xx<0⎧2+xx<0C.⎨D.⎨⎩2−xx≥0⎩2+xx≥0知识点：分段函数的复合。2.设函数f(x)在(−∞,+∞)内可导，且对∀x0B.对∀x,有f′(x)≤0C.f(−x)单调增加D.−f(−x

2、)单调增加知识点：（1）函数单调性判别条件的充分性与必要性；（2）f(−x)、−f(x)与f(x)的图象关于坐标轴的对称性。3.设f(x)在x=0处连续，且对一切x,x，恒有f(x+x)=f(x)+f(x)121212证明f(x)在(−∞,+∞)内连续。知识点：用定义证明函数的连续性；1f(αx)f(x)4．若limln[1+]=β，其中α>1,β≠0，则lim=。x→0αx−1sinβxx→0x2知识点：极限类型的判定及等价无穷小替换。ln[1−sinx+f(x)]5.设f(x)在x=0处连续，

3、且lim=−3则f′(0)=。x→0x知识点：（1）极限类型的判定及等价无穷小替换；（2）连续性在求极限中的应用；（3）用定义求函数在一点处的导数。1f(x)26.设f(x)的导数连续，f(0)=0，且当x→0时∫f(t)dt与x是等价无穷小，则0f′(0)=（）。3A.0B.2C.2D.2知识点：（1）用极限表示等价无穷小；（2）变上限函数求导（类型2）；（3）用定义求函数在一点处的导数；（4）抽象复合函数求导的方法。2⎧x2⎪∫(x−t)sintdt07.设f(x)=⎨kx≠0，f′(0)存在

4、且不为零，则k=（）。x⎪⎩0x=0A.3B.4C.5D.6知识点：（1）用定义求分段函数在分段点处的导数；（2）罗必塔法则；（3）变上限函数求导（类型2、3）。x⎧∫tf(t)dt⎪08.设F(x)=⎨2x≠0，其中f具有连续的一阶导数，f(0)=0。（1）求A，x⎪⎩Ax=0使F(x)连续；（2）讨论F′(x)的连续性。知识点：（1）分段函数连续性的判定；（2）分段函数导数的求法；（3）罗必塔法则及变上限函数求导。9.设y=f(x)有连续的导数，且在点(1,0)处有∆y=∆x+ο(∆x)，则x

5、e∫f(t)dt1lim=。2x→0ln(1+x)知识点：（1）函数“可微”定义表达式的含义；（2）罗必塔法则以及等价无穷小替换；（3）变上限函数求导（类型2）；（4）连续性在求极限中的应用。2f(x)+f′(x)10.f(x)有连续的二阶导数，且lim=1，则f(0)=0（）。−xx→01−eA.是f(x)的极大值B.是f(x)的极小值C.不是f(x)的极值D.是否极值不能判定知识点：（1）罗必塔法则使用的条件；（2）根据极限类型确定部分极限值的方法；（3）判定极值的第二充分条件。11.设f(x

6、)在x=0的某邻域内有连续的二阶导数，且f′(0)=f′′(0)=0，则（）。A.x=0是f(x)的零点B.x=0是f(x)的极值点f′′(x)C.当lim=1时，(0,f(0))为拐点x→0ln(1+

7、x

8、)f′′(x)D.当lim=1时，(0,f(0))为拐点x→0ln(1+x)知识点：（1）零点与极值点的判定；（2）判定拐点的充分条件；（3）左右极限与保号性的应用。12.设y=f(x)二阶可导，如果f(x)既有极值又有拐点，则f′(x)的图象可能是（）。A.B.C.D.知识点：（1）读图要领

9、：值的正负、单调性、零点、极值点；（2）判定极值拐点的充分条件。13.讨论k为何值时f(x)=xlnx+k在其定义域内的零点个数分别为0、1、2个。知识点：（1）函数图象的描绘；（2）参数对曲线与x轴交点个数的影响。34nn14.lim(arctan)=（）n→∞πn+1π2π2−−2π2πA.eB.eC.eD.e知识点：（1）数列极限向函数极限的转化；（2）幂指函数极限的求法；（3）∞⋅0型极限的倒代换以及多层复合函数求导。1−x15.曲线y=(4+5x)e的斜渐近线是。知识点：（1）求斜渐近线

10、斜率与截距的公式；（2）求极限的裂项法、等价无穷小替换或倒代换。a2n−1an16.设a−+"+(−1)=0，证明方程132n−1acosx+acos3x+"+acos(2n−1)x=012nπ在(0,)内至少有一个实根。2知识点：对原函数运用罗尔定理证明方程有根。17.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)=0，证明至少存在一点ξ∈(0,1)，使ξf′(ξ)+(aξ+b)f(ξ)=0（a,b为常数且b>0）知识点：用罗尔定理证明含f′(ξ)等式时构造辅助函数