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1、南京航空航天大学第1页（共6页）二○○六～二○○七学年第一学期《高等数学I》考试试题考试日期：2007年1月22日试卷类型：A试卷代号：班号班内序号学号姓名三四题号一二总分1234561234得分一、填空本题分数2421.设y=−arcsin1x，则dy1=.x=得分2⎧1⎪xxarctan,≠02.设fx()=⎨x，则左导数f′(0)=.−⎪⎩0,x=012+++?n3.lim=.n→∞nn4.设f′(cos)xx=cos2，且f(0)1=，则f()x=.1ππ5.已知f()sinxax=+sin3x在x=处取得极值,则a=,f
2、()是极值.333gdddgdddddddgdgd6.设A=+=+2,abBkab,其中ab=1,=2,且abAB⊥,⊥,则常数k=.二、选择本题分数9得分1.下列等式中正确的是()ππ+∞x2(A)1sin−==xdxcosxdx0(B)dx=0∫∫00∫−∞1+x2⎧211111⎪xxsin,≠0(C)∫−1dx==⎡⎤⎣⎦lnx−10(D)∫fxdx()=0,其中fx()=⎨xx−1⎪⎩0,x=0第2页（共6页）sinxx22.设f()xt==∫∫sin,()dtgxtln(1)+dt，则当x→0时，00f()x与g()x相
3、比是()(A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小⎛⎞13.设fxx′()=−(1)(2x+∈−1),x(∞+,∞)，则在区间⎜⎟,1内f()x是()⎝⎠2(A)单调增加，曲线yf=()x为凹的(B)单调减少，曲线yf=()x为凹的(C)单调增加，曲线yfx=()为凸的(D)单调减少，曲线yfx=()为凸的三、计算题⎧xt=arctandy1.设函数yy=()x由⎨确定，求.2本题分数6⎩yy+sin−+=ln(1t)0dx得分πtanx本题分数62.计算lim(2−x)2x→1得分第3页（共6页）x
4、+5本题分数63.求∫2dxxx−+63得分arctanx本题分数64.求∫2dxx得分2−xx本题分数712()xxee++5.计算∫dx−1211+−x得分第4页（共6页）x6.证明：当x>0时，ex−2cos+>x.本题分数7得分四、综合题xyz+112++⎧21xy+−=01.已知直线L1:==，L2:⎨，本题分数8−123⎩32xz+−=0证明：L//L，并求L与L所确定的平面的方程.得分1212第5页（共6页）1fx()本题分数82.设f()x为连续函数，ϕ()x=∫f()dxtt，且lim=2，0x→0x得分求ϕ′(
5、)x.3.设f()x在[0,a]上非负，ff(0)=0,′′()x>0，设S为本题分数6yf=()x，y=0，以及x=a所围成的平面图形的面积，设V为得分V该图形围绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.令I=，2πS2求证：I>a.3第6页（共6页）2n4.设f()xxx=++coscos?+cosx，n本题分数7⎛⎞π(1)求证：任给自然数n>1，方程fxn()1=在⎜⎟0,上有且仅有一⎝⎠3得分⎛⎞π个根；(2)设xn∈⎜⎟0,是fxn()1=的根，证明数列{}xn的极限存⎝⎠3在，并求limx.nn→∞南京航空航天大学第1页（共5
6、页）二○○六～二○○七学年第一学期课程名称：《高等数学I》参考答案及评分标准命题教师：肖瑞霞试卷类型：A试卷代号：一、填空每一个小题4分，共24分。221.设y=−arcsin1x，则dy1=−dx。x=23⎧1⎪xxarctan,≠0π2.设fx()=⎨x，则左导数f′(0)=−。.−2⎪⎩0,x=012+++?n23.lim=.n→∞nn3224.设f′(cos)xx=cos2，且f(0)1=，则f()x=xx−+131π5.已知f()sinxax=+sin3x在x=处取得极值,则a=2，33πf()是极大值.3gdddgdd
7、dddddgdgd6.设A=+=+2,abBkab,其中ab=1,=2,且abAB⊥,⊥,则常数k=−2.二、选择每一个小题3分，共9分。1.下列等式中正确的是(D)ππ+∞x2(A)1sin−==xdxcosxdx0(B)dx=0∫∫00∫−∞1+x2⎧211111⎪xxsin,≠0(C)∫−1dx==⎡⎤⎣⎦lnx−10(D)∫−1fxdx()=0,其中fx()=⎨xx⎪0,x=0⎩sinxx22.设f()xt==∫∫sin,()dtgxtln(1)+dt，则当x→0时，f()x与gx()相比是00(B)(A)等价无穷小(B)
8、同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小第2页（共5页）⎛⎞13.设fxx′()(1)(21),=−x+∈−x(,)∞+∞，则在区间⎜⎟,1内f()x是(B)⎝⎠2(A)单调增加，曲线yf=()x为凹的(B)单调减少，曲线yf=()x为凹
