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1、第二章应力分析2.1矢量与张量2.2应力矢量，应力分量2.3柯西应力公式2.4坐标变换2.5主应力和应力主轴2.6最大剪应力2.7变形物体的平衡方程矢量与张量量与数：任何一个量都是客观对象的数学表征，通常是由若干个数字给出的，最简单的量称为标量，由一个数字确定。矢量有大小、方向，就不能只用一个数值表示，需要分量组成。矢量与张量把x,y,z轴，记为x1,x2,x3，通常可简记为xi，各轴的基矢记为e1,e2,e3，可简记为ei，在此坐标系中的矢量v的分量记为v1,v2,v3，可简记为vi。矢量的点积:一个矢量和另一个矢量的点积可以决
2、定一个标量，用指标符号可记为W=f·s=fs+fs+fs=∑fs112233ii矢量与张量Einstein求和约定：最后一个等式在符号∑下fisi有两个同样的指标i。约定凡在同一项中有一对相同的指标（也就是一个指标出现两次时），就认为是对这一指标从1到3全程求和，并限定在同一项中不能有同一下标出现3次或3次以上，求和符号略去不写，记为：w=fisi求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为哑标。矢量与张量引入符号之一：记基矢的点积ei·ej=δij其中该定义表明它有对称性，与指标排列顺
3、序无关，即：δij＝δji称为克罗内克尔代尔塔符号(Kroneckerdelta)。矢量与张量引入符号之二：记基矢的混合积(ei×ej）·ek=eijk其中当i,j,k为{1,2,3},{2,3,1}或{3,1,2}当i,j,k为{2,1,3},{1,3,2}或{3,2,1}当i，j，k有两个或三个相同称为置换符号。利用置换符号，两个矢量的矢积可记为ai×bj=eijkaibjek矢量与张量将求导符号简记为：∂()=(),i∂xi梯度可记为：∂ϕ∂ϕ∂ϕ∇ϕ=e+e+e=ϕe123,ii∂x∂x∂x123则散度可记为：∂v∂v∂v
4、123∇•v=++=vi,i∂x∂x∂x123矢量与张量在力学中常用的物理量（或几何量）可分为几类：标量（只有大小没有方向）；矢量（既有大小又有方向）；张量（具有多重方向性的更为复杂的物理量）标量与坐标轴的选取无关，但矢量分量坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满足规定坐标变换公式的物理量称为张量。标量称为零张量，矢量为一阶张量，应力是二阶张量。矢量与张量应力张量：一点的应力状态，它具有二重方向性，即应力分量的值既与截面法线的方向有关又与应力分量本身的方向有关，是二阶张量，可记为(σij)。σσσxxxyxzσσσ(σi
5、j)=yxyyyzσσσzxzyzzσττxxxyxzτστyxyyyzττσzxzyzzσττxxyxzτστyxyyzττσzxzyz切平面与内力物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分：v应力矢量其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。ΔF取截面的一部分，它的面Qv积为ΔA，ΔA作用于其上的内力为ΔF，平均集度为ΔF/ΔA，其极限∆FT=lim∆AT为位于物体内部Q点，切平面
6、法线方向为v的应力矢量。应力矢量不仅和点的位置有关，和截面的方向也有关。应力矢量的分量通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为正应力分量和剪应力分量Tτσ笛卡尔坐标面上的应力分量应力分量描述应力分量，通常用一点平行于坐标平面的单元体，各面上的应力矢量沿坐标轴的分量来表述。zoyx笛卡尔坐标面上的应力分量图示单元体面的法线方向为y坐标轴，称为y面，应力矢量在垂直于单元体面方向上的应力分量称为正应力分量。正应力分量记为σyy,沿y轴的正向为z正,其下标表示所分量沿坐标轴的方向。oyx应力矢量在平行于单元体面方向上的σyz应力分
7、量称为剪应力分量，用σyx、σyz表示，其第一下标y表示所在的平σ面，第二下标x、y分别表示分量所沿yyσyx坐标轴的方向。应力分量的正负号规定当所选坐标面的法线方向与坐标轴的指向相同时，则规定各个应力分量的正向与坐标轴的指向相同。凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。zoyx应力分量的正负号规定反之，当所选坐标面的法线方向指向坐标轴的负方向，则规定各个应力分量的正向也指向坐标轴的负方向。若图示单元体面的法线为y的负向，正应力分量记为σyy,沿y轴负向为正。平行于单元体面的应力分量如图示的σyx、σyz，沿x轴、z轴的负向
8、为正。zoyx笛卡尔坐标面上的应力分量应力分量相对平面上的应力分量在略去高阶小量的意义上大小相等，方向z相反。oyx笛卡尔坐标面上的应力分量在笛卡尔坐标系下，我们分别沿平行于坐标平面的3个坐标方向进行应力分解后，可得到9个应力分量，他们整体构成了一
