大学物理 2.4 刚体定轴转动的功和能

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1、2.42.4刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能2.4.1力矩的功和功率刚体绕过O点且垂直于纸面的轴转动F是作用在刚体上rA点的外力（位于转动平面S内）F刚体在F的作用下转过角位移dϕrαrrrdrdW=F⋅dr=FdrcosαASdϕrr=Fcosαrdϕ=MdϕωϕOx在力矩作用下，位置角由ϕ变化到ϕ12ϕ2力矩的功W=∫∫dW=Mdϕϕ1dWMdθ力矩的瞬时功率P===Mωdtdt2.4.2定轴转动刚体的机械能r1、转动动能ωr112()Δ22rviE=∑Δmv=∑mrωk2ii2iiriΔmi12=Jω转动动能22、刚体的重力势能hΔmiEp=∑Δmigh

2、i=g∑ΔmihiCmii∑Δmihiihchi=mg=mghcmE=0p2.4.32.4.3定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理力矩的功dW=Mdϕ=Mωdtdω转动定律M=Jβ=JdtdωdW=Jωdt=Jωdωdt在力矩作用下，角速度由ω变化到ω12ω21212W=Jωdω=Jω−Jω∫21ω122定轴转动动能定理W外=EK2−EK1合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于刚体转动动能的增加例：唱机的转盘绕通过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上去后将受到转盘摩擦力作用而随转盘转动。唱片可看成是半径为R的均匀圆盘，质量为m，唱片与转盘之间的滑动摩擦系数为μ,转盘原来

3、以角速度ω匀速转动。求：k1）唱片刚放上去时它受到的摩擦力矩是多大？2）唱片达到角速度ω需要多长时间？3）在这段时间内转盘保持角速度ω不变，驱动力矩共做了多少功？4）唱片获得了多大动能？m解：1）dS=2πrdrdm=dS2πRmrωdM=rdf=rμdmg=rμgdSkk2πRRRm22M=∫gμk2πrdr=μmgR2k0πR32）唱片达到角速度ω需要多长时间？2M4μkg12M=μkmgRβ==J=mR3J3R2ω3Rωtt==ω=β4μgβk3）驱动力矩共做了多少功？转盘转过的圈数由于转盘保持角速度ω不变，驱动力矩等于摩擦力矩122驱动力矩作功W=M⋅Δθ=M

4、⋅ωt=mRω2121224）唱片获得动能Ek=Jω=mRω24对于包含刚体、质点、物体等复杂系统功能原理W外+W非保=(Ek2+Ep2)−(Ek1+Ep1)1212Ek=mv+Jω+.....22E应包括系统中所有物体各种形式的势能p当W+W=0即只有保守内力作功外非保系统机械能守恒E+E=Const.kp例：质量为m,长度为L的匀质细棒，一端固定一质量为m的小球，另一端绕过O点的水平光滑轴在竖直平面内转动。初始时棒处于水平位置并静止。求当棒在竖直面内转过θ角时，它的角速度ω。解：把细棒、小球和地球视为一个系统。系统机械能守恒设：初始水平位置Ep=0，Ek=0OLθ

5、当棒转过θ角时E=−mgsinθ−mgLsinθp21212242Ek=JωJ=mL+mL=mL2331213gsinθJω−mgLsinθ−mgLsinθ=0ω=222LO用动能定理求解W=EK2−EK1θθ′把细棒、小球视为一个系统mgL3M=mgcosθ′+mgLcosθ′=mgLcosθ′22mg3dW=Mdθ′=mgLcosθ′⋅dθ′2θ3θ3W=∫Mdθ′=mgL∫cosθ′⋅dθ′=mgLsinθ02021212242W=EK2−EK1=JωJ=mL+mL=mL233O转动定律+运动学θMg=JβL3M=mgcosθ+mgLcosθ=mgLcosθmg

6、22mg3mgLcosθ=Jβ23mgLcosθdωdωdθdωβ===ωβ=2Jdtdθdtdθωθ3mgLcosθdω3mgLcosθ=ωdωdθω=∫∫2Jdθ2J00例：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为m的粘土块从h高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，之后一起转动。已知：M=2m,θ=600求（1）碰撞后瞬间盘的ω0=？（2）P转到x轴时盘的ω=？β=？解：（1）m自由下落12mgh=mv2碰前速度mv=2gh（1）以m、盘为一系统，碰撞Δt极小，冲力远大于m受重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：1

7、22mvRcosθ=(MR+mR)ω0)2(22gh由（1）（2）得：ω0=cosθ)3(2R（2）以m+M+地球为一系统，只有重力做功，机械能守恒令P、x重合时E=0P1212mgRsinθ+Jω=Jω)4(0221222J=MR+mR=2mR)5(2由(3)、(4)、(5)得：ghg1gω=cos2θ+sinθ=(h+43R2R2R2R20（θ=60）求P转到x轴时盘的β以m、盘为一系统Mg=Jβ系统的转动惯量MmgRgβ===J222RmR质点与刚体运动规律的对比质点运动刚体定轴转动2质量m转动惯量J=∫rdmrrdrdθ速度v=...角速度ω