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1、第卷第三期湘潭师范学院学报,年月‘“’怎样求函数的可接受有理逼近带杨逢建摘要大户,其次证明本文首先得到了函数才是函数勺的各类可接受有理逼近的必要条件了。勺忿一市夕今,劝的含有个自由参数的不低厂阶约有理逼近存在且对于参数的每一组给定,逼近式唯接着就逼近阶一,要夕“的双参数有理逼近值一趁情形给出了昭、。,和三参数有理逼近、、,。,立的系,尸扎笔数计算公式并由此得到了求口斌户的含有多个自由参数的有理逼近的一般方法稳定性,可接受有理逼近,逼近,指数拟合方法关健词数值,,在求刚性常微分方程数值解时算法的数值稳定性问题一直是数值工作者的一大课题一,“一,。一,。一,一,为研究这类
2、问题而建立的及才广等稳定性概念往往是判断一,。刚性微分方程算法特性的关健也是构造新的算法所必须优先考虑的问题对于单步方法来,说这些稳定性概念的共同特点是要求与算法相对应的实系数有理复变函数了在含有负实釉在内的某无界区域内满足】犷其中“,二。‘’吞。、“。二。二,‘‘“‘。一。”“和为非负整数是对指数函数一。。,赢惠,的有理逼近当十,’夕“,一,,口一厂‘至马至叮全,斗,劣,,,。且常数马。时称丑为〔的阶有理逼近特别当时称为、,君逼近当不等式在上述某稳定性所要求的区域内得到满足时称字妇为妇的相应可,。接受有理逼近在无须区分时本文中将各类可接交有理逼近统称为可接受有理逼近
3、,文月中曾证明一种算法具备上述某种稳定性质当且仅当函数吞妇为相应的可接受有理,。二逼近因此研究卯的有理逼近的具体表达式及这种有理逼近使不等式成立的条件。,,,是问题的关健在这方面对于,逼近采说不少作者做了大量的工作得到了较完整,、的结果本文是更一般地对“洲妇的有理逼近探求存在性表达式与可接受条件湘潭市机电专科学校之卜夕,,“,引理对任何非负整数函数〔妇的阶,逼近丁存在且唯一其系数由公式、一一,,,,月孟一⋯一一“,‘一‘’‘一卫二,,一。,一簇簇时,一确定并且当且仅当这种逼近是可接受的引理集合中的有理函数扩是妇的不低于户阶的有理逼近的充要条件是上二,,,辛‘不钾卜,寿
4、⋯刁孟,,十‘二,十‘二。这里及下文中我们补充定义当时西。。以上二引理及其证明可参见文献〔一」,特,。,定理设。则蓄任是峥妇的可接受有理逼近的必要条件是成且当“时必须,一““,仁,乓石一气,忍万,一若妇既约则当任时还须吞·”属峋‘二,护,证因为。故,厂当,‘一。。。口夕,织息分当,当￡《‘,￡‘《‘,又,,,故由可接受性知且当时必须,妇‘去绝对值整理得式一魏户一,,当任时由言既约及在负实轴上不等式必须成立知分母不能有负实根因,。二,,而分母必保号又杏故式必成立定理证毕,,不难看出这样的事实为保证算法稳定理想的途径是先取参数形式的逼近式再选择适,,当的参数值使此逼近式满
5、足指定稳定性的要求并尽可能使计算简便此外保留一定参数,。,也便于构造指数拟合方法因此以下我们寻求妇的含参有理逼近式且由定理假定。￡乏才,‘十一乡个自,定理牙当‘且尹时妇的含有由参数的不低于广阶的〔,,。有理逼近存在且对于参数的每一组给定值逼近式唯一,,,,⋯,,十,,⋯,,,证若广则可取乙和外内石为自由参数而系数。,,⋯可由式确定故以下仅需讨论广的情形此时式等价于习,曰二万口‘‘十了,一二,,⋯夕一忍左气二“二,,,”,祝⋯一禺不付吞一,,,,累夕口‘·,二,⋯气丽帝提,注意当时式消失当户时式与的矩阵形式为。这里夕〔,,⋯,〕,一⋯一一带’刀〔,」,”舟一‘,〕和带一
6、一带‘,〕的,其中一矩阵〔矩阵〔元由公式,二士‘,一几。一、不胃而‘一叹艺一,十艺一、、‘、、,、,,,,、,,、、,、、,,,、、、卜一,,⋯卜,兰左,二用致确足且为万便起见此处及又甲盯找们约斌字归纲居易址矿带一一力一一亡汀带一·辛一铸乡,,。一十,,,。,,因而阴〔」有此可见方程组有以称。不⋯瓦为白由,,参数的解且对于每一组参数值解是唯一的将此解代入式便可求出诸巩的值当“,,户时证法类似定理证毕,,,辛二一为得到构造含参逼近式的一般规律不失一般性我们先以为例进行,一‘一,,,一,讨论即寻求妇的不低于阶的有理逼近,这里瓦和今是自由参,,,去在式中令数由定理二的证明可
7、以看出当时应先从方程组解出诸“,二一,一,右移至方程右端,尹并将得方程组,万,,,⋯,一〕,其中分〔一,。,一,么一一夕一一一「」‘,‘“一,一”【幻”一一「毛一生“一,一”一”一一为在式中令广所得的阶方阵。,,、、、引理设以向量或去替换系数矩阵中第列所得矩阵分别记为、。,一凡或则当吞时有走﹂一一⋯一一、吞一月⋯一了⋯一一一几‘。一一⋯一一寿二岔凡,一一’一一⋯一卜。一一⋯一一一。一澎‘’,一夕⋯〔一卜一于一厂二万一一⋯二甘⋯一证。易算得一一吞,〔艺一‘一了了一一沙亡。二⋯一」鱼上鱼⋯一一一里一一’艺一一一,上式中的行列式自下而上后行减去前行再按第一
