重整化群 方法

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1、第十章重整化群理论10.1引言相变理论的核心问题：求临界指数和标度律，阐明相变普适类的根源。•最直接的方法？----求配分函数！因为配分函数包含了统计平衡系统的几乎全部热力学信息。遗憾的是，除了理想气体和少数几个有相互作用的气体，严格求解配分函数十分困难！•朗道平均场理论？----可用来求临界指数和标度律，但结果多数情况下与实验结果不符！它只对的系统适用。而且有两个缺陷（1）它假设自由能是序参量的解析函数，于是可用序参量的幂级数来展开，但这与临界点附近热力学量有奇异性看似是矛盾的；（2）它忽略了涨落，但涨落在发生相变时是很重要的。•标度理论？----认为自由能可写为广义齐次函数，是一

2、个形式理论，只可以求出标度律，但不能求出临界指数的值！•数学上的一些严格/近似方法---只针对一些具体的系统求解，不能一般的处理求临界指数的问题。出路？考虑系统在相变点附近的对称性！不去求配分函数，而是去寻找保持系统不变的对称变换！（由于系统在这时有标度不变性）普适的临界指数应该对对称性的性质给出描述（普适类的根源）。这些对称变换的集合形成了一个半群，即重整化群。10.2卡丹诺夫变换，块自旋由于系统在相变点附近有标度不变性，为了考察对称变换的性质，我们将改变观看原系统的（尺度）大小。唯一相关的尺度是关联长度ξ。系统的临界性质于是不依赖于系统在短距离内的详细细节，只依赖于长程涨落。因此

3、我们可以采用粗粒化(coarsegraining)技术把短距离内的细节平均掉。由于系统的最小尺寸为晶格常数，我们知道当为常数时，做这样的尺度变化不会改变系统的性质！由此我们引入块自旋变换（卡丹诺夫变换）：在临界点附近，重要的是大块内的平均自旋而不是格点上的单个自旋，因此可以用只含块自旋的有效哈密顿量来描述系统！以Ising模型为例，（格点）哈密顿量为把晶格分为大小的单元块，定义块自旋，它可写为原来格点的平均：变换后新的哈密顿量为：这就保持了对称性，只需显然还有这么做的一些问题：一般而言系统的哈密顿量可能会发生改变（如果不是仅有最近邻相互作用的话），但我们以后会看到这些多余的耦合不会改

4、变临界指数。和标度理论的关系：（1）系统自由能：其奇异部分在变换前后有：为单个自由度的自由能。令即得，这即是我们前面讨论过的广义齐次函数。（2）关联函数：块自旋关联函数可定义为（两点距离为）：由易知带入到关联函数定义式有：这即是我们前面讨论过的广义齐次函数。一般地，有有限尺度标度(finite-sizescaling)理论这里我们考虑一种特别情形，即系统尺度有限时(Lꞌ是系统实际线度大小，是晶格常数)在临界点附近的性质。这种情形常见于我们对系统进行MonteCarlo模拟时。这时系统自由能是含L的解析函数，但当时其某阶导数可能出现奇异性。当L有限时，我们仍然可以把可能出现奇异性的、有

5、自相似性的部分称为自由能的奇异部分。保持系统实际线度Lꞌ不变，我们进行块自旋变换。和前面讨论类似，单个自由度的自由能的奇异部分变换为：这里我们也可以认为热力学极限对应于的情形，是相变的临界点。为简单起见，我们下面仅讨论外场h=0的情形。由标度理论，取我们有磁化率：其中是无限大系统在临界点附近的关联长度。类似对比热我们也有：有限尺度下磁化率χ和比热C随温度的变化：•当时，关联长度感觉不到系统边界，有限系统的行为和无限系统类似:•当时，有限系统的行为开始偏离无限系统，有限尺度效应出现；•对更小的t，有限系统行为不由临界点确定。由于自由能是解析函数，χ和C会出现圆滑的峰。即在t的有限变化范

6、围内可近似认为是常数。由此有当这时χ的标度形式可能用下式更方便（C的类似）：有限尺度下磁化率χ示意图：对有限系统，我们可以把磁化率χ或比热C出现极大值的温度认为是有限系统的“临界温度”。一般而言，这和无限系统的临界温度并不相等。假设的极大值出现在处，我们有（其中是常数）：对有限系统我们假设周期性或固定边界条件时，一般有，自由边界条件时一般有（考虑边界对涨落的影响，涨落足够大时破坏有序态产生相变）10.3重整化群的定义仍以Ising模型为例，一般的哈密顿量可写为：其中α表示某类相互作用（如最近邻、次近邻、与外界作用等）。由上节可知，重整化群变换包括两部分（1）块自旋变换以缩小分辨率；（

7、2）重标变换以恢复到和原有模型一致。块自旋和第I块中原有格点的关系为一映射：，因此可定义函数对整个系统则可定义：易知有用块自旋表示的哈密顿量为：做变换时我们应保持配分函数不变，因此有于是重整化变换满足（*）：这时每个自由度的自由能（奇异部分）为：重整化群变换（*）说明耦合常数和间有某种确定的函数关系：这个函数关系易知满足，且单位元为。这个群变换不含逆元（由于粗粒化，细节已经失去了，逆过程是不可能的），因此重整化群是个半群。重整化群变换实际可由一个生成元来构