华师新版八上121

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1、努力打造国内最开放的资源下载基地和最专业的远程教育平台！华师新版八上《12.1平方根与立方根》同步辅导情境体验·探索发现传说很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都快干死了，于是大家一起到神庙里去向神祈求．神说：“你们原来给我做的这个正方体的祭坛太小，如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降下雨水．”大家觉得这好办，于是很快做好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的边长是原祭坛边长的二倍．可是神更加恼怒，他说：“你们竟敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来的两倍，我要进一步地惩罚你们！”要做一个体积是原祭坛2倍的新祭坛

2、，它的边长应是原来的多少？为解决诸如此类的问题，我们现在来共同学习“平方根与立方根”．知识提炼·教材详解[相关知识回顾]．1．有理数的乘方：求几个相同的因数的积的运算，叫做乘方．其计算的结果叫做幂．在an中，a叫底数，n叫做指数，an表示，即n个a相乘．2．乘方运算符号的规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂为0．因此，任何数的偶数幂是一个非负数．例如，a2≥0．[新知识点导学]知识点1根据平方根的意义，利用平方来检验或求算某数的平方根．(1)平方根、算术平方根的概念：如果一个数的平方等于a

3、,那么这个数就叫做a的平方根（squareroot也叫二次方根）．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”．(2)平方根的性质：一个正数a有两个平方根±；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根．解读：平方根与算术平方根的区别在于：①定义不同；②个数不同：一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：正数a的平方根表示为±,正数a的算术平方根表示为；④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数,正数的平方根是一正一负．其联系在于：①具有包含关系(一个数的平方根包含算术平方根,算术平方根是平方

4、根中的一个)；②存在条件相同．一个数的平方根和算术平方根都只有非负数才有；③0的平方根与算术平方根都是0．努力打造国内最开放的资源下载基地和最专业的远程教育平台！(3)开平方：求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方．开平方与平方互为逆运算．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．[例1]16的平方根是_________；的算术平方根是.[思维点拨]正数a的平方根有两个：±，它们是互为相反数；正数的算术平方根只有一个，即正数a的正的平方根．[解](1)因为42=16，所以=4，因此的平方根是±4；(2)因为()2=，因此的算术平

5、方根是．[思维拓展]的平方根是多少？先算出=4，再求4的平方根．知识点2根据立方根的意义，利用立方来检验或求算某数的立方根．(1)立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cuberoot也叫做三次方根）．即x3=a，则x是a的立方根．(2)开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算．解读：(1)立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．因此，任何一个数都有它的一个立方根；(2)立方根的表示方法：每个数都只有一个立方根：用符号“”表示，读作“三次根号a”,其中

6、a是被开方数，3是根指数，根指数“3”不能省略．(3)被开方数是互为相反数的两个数，其立方根仍是互为相反数(即)．因此，求一个负数的立方根,只要先求出这个负数的绝对值的立方根,然后取它的相反数,也可以说，三次根号内的负号可移到根号外面．(4)平方根和立方根的联系：①都与相应的乘方运算互为逆运算；②都可归结为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即=–；③0的平方根和立方根都是0．两者的区别：①在用根号表示平方根时,根指数2可以省略；而用根号表示立方根时,根指数3不能省略

7、；②平方根只有非负数才有；而立方根任何数都有,且每个数都只有一个立方根．例如－64没有平方根,但立方根－4；③正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．例如7的平方根是±,7的立方根只有．[例2]努力打造国内最开放的资源下载基地和最专业的远程教育平台！在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住后放入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5立方厘米，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62厘米．请问烧杯内部的底面半径和铁块的边长各是多少？(用计算器计算，结果精确到0.1厘米)(习题12.

8、1第5题)[思维点拨]根据“等积变形”知，正方体在圆柱形烧杯中排开的水的体积．既等于正方体铁块的体积，又等于圆柱形烧杯的底面面积与水位下降的高度之积．[解]设烧杯内部的底面半径为R㎝，铁块的边长为x㎝，根据题意，得：x3