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1、论一维空间的超穷分割朱梧很,。大于O的有限空间纯由等于0的点位置来构成这是不附实际的有的数学家指,。,出;这个问题是逻辑学家这个提法是对的可以举数学家长期以来疑惑不解的问题、、、、。,出亚里士多德尼古拉斯黑格尔康托尔勒贝克等许多学者为例在历史上有一。如‘单位园的’而积等于其周长之半的争论和研究就是由此发生的典型一例但在另方,,。面长期以来更多的场合是人们对此避而不问,,。其次我们熟知定积分基本定理的儿何证明也熟悉历史上对它的批评和讨论但是,,分割a,:?:我们所要着重考虑的是〔b]的分割数是趋向怎样的无穷而
2、当、co,,,。,:时助门被分割的结果是什么?举例说明这些提问我们可将[们分割成,_、,,、们一.且,,2一1J.fl‘“一,.,,1fl一,了、门、尹.u,气夕一a’,L“一r,,一(l)tl)l口然后L了JL丁寻1!nco,那么按此方式对a,,0:令”〔门作无穷分割后其被分割结果为杏的小闭区间序列,,J.,一,;n一一一泞,,L显(”一)(”一一43泞下I1Z1(“)⋯⋯、o几,合云匀气刀一“),“然l!音个2{,,。若按此方式对[ab]作无穷分割则所求图形之面积:。与无穷多个面积杀一一一。x、一,KK
3、一1,丫K一1(介)之和(即习八之)(x叔)冬为(叔)上之任一点)不能相等一,,·人们才明确规定当分割数:,。,二一,二。,]2“)都n寸每个小闭区间[介〕(K。,,,,趋于。然而即使在此附加规定之下还是可以问[rl门被分剂的结果是什么?n,,分割数究竟是趋于怎样的无穷?显然在其被分割结果中不得含有大于0的小线段,,。那么据欧几里德组成线段的仅有的儿何元素就只能是点位置了也即有穷和式一,K一二K一1、一xK一;,:,习f(争)()中每一项的区间因子仕)当‘伪时势必一一变为点位置,,,”又据无穷级数的求和方式
4、可知无穷和式习仅由可数多项组成故分割数至多一氏!,,,2一,,,只能趋于可数无穷大J卜且线段助门当分割数co时便由可数多个点位置组成。。但这是不可能的这说明对一维空间尸(x)的超穷分割是远较复杂而不可等闲视之的‘一’的,本例在实质上与单位园面积等于其周长之半分析和讨论是一致的只是突出了‘’‘’的。分割数和被分割结果考虑逻辑困‘’‘难的根源在于僵化了的数学点概念和破颠倒了的生成空间的堆积观’。一念的局限性l让纪以来点集论的蓬勃发展进一步强化了这些传统观念,以致困难卜九。‘’‘’愈陷愈深困难的克服必须从数学点概
5、念和点集观念这两个方面的改造工作同,,,时入手也即点的不可分割性必须彻底突破生成空间的堆积观念必须重新颠倒过来偏,。·:‘废其一逻辑困难不能真正解决数学家八儿亚力山大洛夫曾说既没有绝对不可,,分的对象也没有完全连续的对象所遭遇到的困难引起了在新的阶段上重新回到纯粹,’连续性概念的企图也可以用其他方法来改造把线段看作是点的集合的概念应用潜尾000000000000000000000000,,‘,,观点于古典分析中实数空间E的研究为数学点概念的改造工作带来了新内容下‘,‘’。述潜尾观点下的分割系统便是点集观念的
6、改造工作我们,将和欧几里德相反以首先承认空间的客观存在性和无限可分性作为一条基本。‘’,,公理或出发点并称在此观点下考虑问题为在分割系统内考虑问题反之若在把空,‘’。间看成是点位置的集合的观点下考虑问题则称为在点集系统内考虑问题以下先‘’。限于一度空间并在潜尾观点下对分割系统作一素简而初等的描述,,在经典实数理论中对任一直线R(劝如在其上取定原始座标位置0及某一确定,,的单位长度后就能由此引出各不相同的长度(即某一线段以此取定单位长为度量单。,位的测度)每一长度(如丫丁)就有唯一确定的位置与之对应而每一指定
7、位置总有。,‘’“’。‘唯一长度与之对应因此我们把全体位置理解为全体长度的引伸在分割,,‘’。系统中并不排斥位置概念的董要意义且将赋予它分割工具新的内容义1·:R(、二、a,=瞥a,够0被分割对象直线x)半直线R去()线段〔b]b或〔01〕三01:。2.分割工具约定各个座标位置为分割空间的理想刀同时又保有其位置的本。,,。义因此既有了分割工具又能指明在什么地方用那一把刀去作分割理想刀的特性,。是具有分割空间的能力而不占有空间(即无厚度即所谓理想之处)‘’:,‘3.分割基数(或称割势)在一次分割过程中称所在割
8、切的位置为割,,‘’。,‘’置非割切所在的座标位置为非割置在一次分割过程中所有割置的总和‘,。‘’。称为割置集其势称为割势‘,:‘,‘,。4.分割序型(或称割序)割置集的序型称为分割序型对于同一,,。,‘势可以有它各不相同的型而不同的序也未必提供不同的型因之对于同一割’‘,。势自有它各不相同的割序‘’:‘,‘,‘5.分割方式(或称割网)一个具有确定的割势和割序的割置,‘,。‘,。集叫做割网也说是一个确定了的分割方
