1.1复数及其运算

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1、MathematicalMethodsinPhysics武汉大学物理科学与技术学院WuhanUniversity第一篇复变函数论TheoryofComplexVariableFunctionsTheoryofComplexVariableFunctionsWuhanUniversity引言一、复变函数的内容：１、将实变函数中：函数、极限、连续、微商、积分、级数等概念推广至复变函数中；２、解除了实数领域中若干禁令;３、建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系;二、复变函数的应用：1、解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法；2、解微分方程的初值问题，如：拉普拉斯变换法；3、

2、计算实积分，如：留数定理。WuhanUniversity引言复变函数理论被人誉为19世纪最独特的创造，曾被称为19世纪的数学享受，也曾被称为抽象科学最和谐的理论之一。本篇研究的中心问题是解析函数的问题.WuhanUniversity第一章解析函数论TheoryofAnalyticFunctions中心内容：解析函数学习目的：1、熟练掌握复数的各种表示及运算规则；2、熟练掌握复变函数中与实变函数平行的概念；*3、重点掌握解析函数的概念及性质；WuhanUniversity§1.1复数及其运算一、复数概念1.定义z=(x,y)=x+iyx=Rezz=x−iyy=Imz2.性

3、质z=x+iyx=x11112(1)若，则z=z⇔12z=x+iyy=y22212(2)z无大小(3)R(a，b，c)=R(a，b，c，...)WuhanUniversity§1.1复数及其运算二、复数的表示方法Yy⋅z1.几何表示(1)点z；ρ(2)向量oz；iϕX(3)极坐标(ρ,ϕ):o1x22ρ=x+y－的模zyϕ=Arctyg=Argz－的幅角，多值zx规定:−π>0,y0⎪

4、x⎪⎪yarct+<>π,x0,y0⎪⎪x答:argz=⎨y⎪arct−<<π,x0,y0⎪x⎪y⎪arct,x>0,y<0⎪⎩xy问:若02<≤argzrπ,如何用actg表示argz?xWuhanUniversity§1.1复数及其运算N•二、复数的表示方法•A′Y1.几何表示•A(4)复球表示：X球面上的点A′←⎯→复平面上的点A;北极N←⎯→复平面上的∞;复平面+∞=全平面←⎯→复球面2.代数表示⎧xiy+⎪z=+⎨ρϕρϕcossin(三角）⎪iϕ⎩ρe（指数）WuhanUniversity§1.1复数及其运算二、复数的表示方法注意：o1，∞与数学分析中+∞、

5、-∞有着根本区别在那儿+∞、-∞只是变变量化的记号⎧∞=∞，但部实虚辐则、部和角认为无义是意的⎪⎪∞±z=z±∞（z≠∞）2定o规：⎪z⎨=0（z≠∞）⎪∞⎪z⎪=∞（z≠0）⎩0WuhanUniversity§1.1复数及其运算三、复数的运算规则1、运算结果与实数运算结果相符合2、运算规则与实数运算规则相符合23、满足i=−1规定:若z=xi+=yzxi，+y111222则zz(xx)i1212±=±+±(yy)12z×=z(xxyy)i−+(xyy+x)1212121212WuhanUniversity§1.1复数及其运算三、复数的运算规则容易证得：⎧eiϕ1⋅ei

6、ϕ2=ei(ϕ1+ϕ2)⎪eiϕ1eiϕ2=ei(ϕ1−ϕ2)⎪⎪⎨22z−z=(z+z)(z−z)111212⎪n⎪nmmn−m(z1+z2)=∑Cnz1z2⎪⎩m=0WuhanUniversity§1.1复数及其运算三、复数的运算规则进而可证明：zzzzei(ArgzArgz)1+21⋅=⋅212⎧i(ArgzArgz)z/z(z/z)e(z0)⎪1−212=122≠⎪⎪⎨nninArgz⎪z=ze⎪argz+2kπ⎪⎩mmim⎧k=±±0,1，，2...zz=e，⎨⎩m≥2n(cosϕ+isinϕ)=cosnϕ+isinnϕ－DeMoivre公式WuhanUniv

7、ersity§1.1复数及其运算三、复数的运算规则nninArgzz=zen=3:WuhanUniversity§1.1复数及其运算三、复数的运算规则argz+2kπmmim⎧k=±±0,1，，2...zz=e，⎨⎩m≥2m=2:WuhanUniversity§1.1复数及其运算本节作业习题1.1：1(2),(4);2(3);6(2);4(2);6(2);7(2)WuhanUniversity§1.1复数及其运算WuhanUniversity