10 子数列与聚点原理

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1、数列收敛的必要条件——有界若数列存在极限，则该数列一定有界，即存在正常数M，使得数列收敛的充分条件——单调有界设数列单调增加且有上界，即且存在常数M使得则数列存在极限.数列收敛的充分必要条件？——柯西收敛原理第10讲子数列与聚点原理——问题引入子数列的概念数列收敛的归并性聚点原理柯西收敛原理第10讲子数列与聚点原理——主要内容原数列新数列定义1（子数列）从数列中选取无穷多项，并按原来的先后顺序组成新的数列，称新数列为原数列的子数列，记为其中下标为正整数，且满足第10讲子数列与聚点原理——子数列的概念定理1若数列收敛，则其任何子数列也收敛，且

2、判断数列发散的方法：数列存在一个发散的子数列，则该数列一定发散；数列存在极限不等的子数列，则该数列一定发散.例1证明数列不存在极限．第10讲子数列与聚点原理——数列收敛的归并性定理2（拉链定理）数列收敛的充要条件是它的两个子数列和收敛且极限相同．第10讲子数列与聚点原理——数列收敛的归并性定理3（聚点原理）任何有界数列均存在收敛的子数列，即若数列满足（其中M>0为常数），则存在收敛的子数列.adn23收敛子数列ca3ankn1n1n2n3nk第10讲子数列与聚点原理——聚点原理定理4（柯西收敛原理）数列收敛的充要条件是：对于任意正数，存

3、在正整数N，当时恒有称满足上述条件的数列为柯西数列（基本数列）an.................................nO第10讲子数列与聚点原理——柯西收敛原理柯西收敛原理等价形式数列收敛的充要条件是：对于任意正数，存在正整数N，当时，对一切成立.例2设证明数列收敛.第10讲子数列与聚点原理——柯西收敛原理例3设证明数列发散.nannan102.9289749.787611025105.187381012.090136107.485471014.3927如何快速计算第10讲子数列与聚点原理——柯西收敛原理