《高等数学》第6章3 幂级数

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1、请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数高等数学主讲:张小向第一节数项级数http://math.seu.edu.cn第二节反常积分判敛法第三节幂级数第四节傅里叶级数第六章无穷级数§6.3幂级数第六章无穷级数§6.3幂级数∞§6.3幂级数nΣ=1un(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…一.函数项级数的基本概念——定义在数集A上的函数项级数u(x),u(x),…,u(x),…12n∞——定义在数集A上的函数序列收敛(发散)点x0∈D:nΣ=1un(x0)收敛(发散)∞∞nΣ=1un(x)=u1(x)+u2

2、(x)+…+un(x)+…收敛(发散)域:nΣ=1un(x)的收敛(发散)点的全体∞——定义在数集A上的函数项级数和函数S(x)=Σun(x)n=1un(x)——通项∞其定义域为Σun(x)的收敛域nn=1Sn(x)=Σuk(x)——部分和∞k=1余项R(x)=S(x)−S(x)=Σuk(x)nnk=n+1第六章无穷级数§6.3幂级数第六章无穷级数§6.3幂级数∞∞例1.几何级数Σxn−1=1+x+x2+…+xn+…例1.几何级数Σxn−1的收敛域为(−1,1).n=1n=1是定义在实数集上的函数项级数.当x∈(−1,

3、1)时,∞n当

4、x

5、<1时,Σ

6、xn−1

7、收敛,1−xn=1Sn(x)=,1−x∞故Σxn−1(绝对)收敛.n=1limxn=0,∞n→∞当

8、x

9、≥1时,limxn−1≠0,故Σxn−1发散.1n→∞n=1limSn(x)=.n→∞1−x综上所述,∞∞1Σxn−1的收敛域为(−1,1).所以Σxn−1=,x∈(−1,1).n=1n=11−x272365083@qq.com1请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3幂级数第六章无穷级数§6.3幂级数例2.x+(x2−x)+(x3−x2)+…+(xn−xn−1)+

10、…例3.求下列级数的收敛域.∞xn是定义在实数集上的函数项级数.(1)Σ.n=1n!Sn(x)=xn,解:因为∀x∈,当

11、x

12、<1时,limSn(x)=limxn=0,n→∞n→∞xn+1xn

13、x

14、lim=lim=0.当x=1时,limn→∞Sn(x)=lim1n→∞=1,n→∞(n+1)!n!n→∞n+1当x<−1或x>1时,limn→∞Sn(x)不存在.∞xn∞xn所以Σ收敛,因而Σ收敛.综上所述,该级数的收敛域为(−1,1],n=1n!n=1n!0,x∈(−1,1);∞xn且和函数S(x)=可见Σ的收敛域为.1,

15、x=1.n=1n!第六章无穷级数§6.3幂级数第六章无穷级数§6.3幂级数∞xn∞(x−1)nx−1(x−1)2(2)nΣ=1n2.(3)(3)Σn=++…2n=12n22⋅2xn

16、x

17、解:limn=lim=

18、x

19、.(x−1)n+1(x−1)n

20、x−1

21、n

22、x−1

23、n→∞n2n→∞√nn2解:lim=lim=.n→∞2n+1(n+1)2nnn→∞22(n+1)∞xn∞xn当

24、x

25、<1时,Σ收敛,因而Σ收敛;

26、x−1

27、∞(x−1)nn=1n2n=1n2当<1时,Σn绝对收敛;2n=12nxn∞xnn当

28、x

29、>1时,lim

30、≠0,因而Σ发散.

31、x−1

32、∞(x−1)n→∞n2n=1n2当2>1时,Σ2nn发散.n=1∞xn∞1∞(x−1)n∞(−1)n当

33、x

34、=1时,nΣ=12=nΣ=12收敛,因而…当x=−1时,Σ2nn=Σn收敛.nnn=1n=1∞xn∞(x−1)n∞1可见nΣ=12的收敛域为[−1,1].当x=3时,Σ2nn=Σ−发散.nn=1n=1n第六章无穷级数§6.3幂级数第六章无穷级数§6.3幂级数n+1n∞(−1)n1n解:lim(x−1)(x−1)=.

35、x−1

36、(4)Σn.n→∞2n+1(n+1)2nn2n=11+xnun

37、+1(x)n11

38、x−1

39、∞(x−1)解:limn→∞=lim=.当<1时,Σn绝对收敛;un(x)n→∞n+1

40、1+x

41、

42、1+x

43、2n=12n

44、x−1

45、∞(x−1)n当

46、1+x

47、>1时,该级数绝对收敛;当2>1时,nΣ=12nn发散.当

48、1+x

49、<1时,该级数发散.∞(x−1)n∞(−1)n∞(−1)n1n∞(−1)n当x=−1时,nΣ=12nn=nΣ=1n收敛.当x=0时,nΣ=1n1+x=nΣ=1n收敛.∞(x−1)n∞1∞(−1)nn∞1当x=3时,Σn=Σ−发散.当x=−2时,Σ1=Σ−发散.n=12nn=1

50、nn=1n1+xn=1n∞(x−1)n可见Σn的收敛域为[−1,3).可见该级数的收敛域为(−∞,−2)∪[0,+∞).n=12n272365083@qq.com2请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3幂级数第六章无穷级数§6.3幂级数二.函数项级数的一致收敛性S1(x),S2(x),…,Sn(x),…ylimxn=0