几类随机数值方法的稳定性与收敛性

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1、华中科技大学硕士学位论文几类随机数值方法的稳定性与收敛性姓名：朱霞申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：张诚坚20040427华中科技大学硕士学位论文摘要随机微分方程(SDES)广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域．j艮长时间以来，由于缺乏有效的求解SDES的数值方法以及充足的计算机资源，使得在建立描述物理现象的数学模型时都忽略了随机的因素．近年来，在SDES数值解方面已取得一定的成果，这意味着某些随机模型可以借助于计算机进行研究．本文首先介绍了随机微分方程的背景知识及其理论解的重要性质，其中给出了解的存在唯一性定理及其矩性质，对于线性随机微分方程，给出了解

2、的解析表达式．由于随机系统的复杂性，一般情况很难得到方程理论解的解析表达式．这样一来，数值方法的构造显得尤为重要与常微分方程(ODES)领域相比较，对SDES数值解的研究还远远不够．由于随机系统自身的特殊性质，使得不可能将ODES中的数值方法简单地平移到SDES中-卡目反地，为了构造有效的数值方法，要详实地分析其收敛性、稳定性、误差传递等性质．Euler方法是求解SDES的数值方法中最简单的一种方法．对于两种特殊情形，即乘性(multiplicative)噪声和加性(additive)噪声，本文证明了当方程的偏移系数和扩散系数均满足线性增长条件和Lipschitz条

3、件时，方法的收敛阶分别为0．5和1．0．随机情形的泰勒展式可以通过结合ODES中的泰勒展式和Ito法则来获得，并可将其用于构造求解SDES的数值方法．例如，本文中的三种Milstein方法就是截取泰勒展式的前四项．给出乘性噪声和加性噪声两种情形的试验方程后，本文讨论了Milstein方法的A一稳定性、均方稳定性、T-稳定性．当试验方程中的参数为实数时．给出了均方稳定域．另外，本文还证明了数值方法的T．稳定性与渐近稳定性是等价的．最后，就求解随机微分方程的两种弱数值方法，即弱Euler法积弱Milstein方法，给出了方法的收敛性定理．并讨论了弱Milstein方法的

4、M一稳定性、均方稳定性和T．稳定性，其中均方稳定性和T．稳定性沿用了强解中的定义。而M．稳定性则是基于一种新型的试验方程进行讨论的．关键词：随机微分方程矩收敛性稳定性Euler方法Milstein方法华中科技大学硕士学位论文AbstractStochasticdifferentialequations(SDES)arisewidelyinmanyfieldssuchaseconomies，biology,．physics，automaticcontroletc．Foralongtime，manymodelsthathavebeendevelopedtodescrib

5、ephysicalphenomenahaveignoredstochasticeffectsbecauseofthedifficultyinsolutionbo出intermsofthetackofsuitablenumericalmethodsandalsothenon-availabilityofsufficientlypowerfulcomputers．Recently,therehavebeensomeresultsindevelopingnumeriealmethodsforthenumericalsolutionofstochasticdifferent

6、ialequations，andthishasmeant也atmorerealisticmodelsarecapableofbeingsolved．Inthispaper'firstly,Iintroducethebackgroundofstochasticdifferentialequationsandgivetheimportantpropertiesofanalyticalsolutions，inwhichthetheoryofuniquenessandexistenceofthesoludontostoehastiedifferentialequations

7、is西yenandthemomentqualitiesofthesolutionisdiscussed．Asfortheanalyticalsolution。ingeneral,nonlinearstochasticdifferentialequationsdonothaveexplicitsolutions．Inpractice，wecanuseapproximatesolutions．However,itispossibletofindtheexplicitsolutionstolinearequationsandtheuniquesolutionispre