复变函数法在平面弹性问题中的应用与发展

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1、复变函数法在平面弹性问题中的应用与发展★王省哲怡晓玲(兰州大学土木工程与力学学院，甘肃，兰州，730000)摘要弹性问题的复变函数法是在19世纪初建立起来的．在过去的100年中，复变函数法求解力学问题中取得了很大发展。20世纪初断裂力学的发展对复变函数法提出了新的挑战，而保角映射使得复变函数法在解决裂纹问题时的作用发挥到了极致．近些年来，依然有很多的力学工作者在不断发展和应用复变函数法解决更多的新的力学问题．关键词复变函数法，平面弹性力学问题，发展与应用l引言复变函数论产生于18世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中给出了由复变函数的积分导出的两个方程。

2、而稍早时，法国数学家达朗贝尔在关于流体力学的论文中也得到了它们。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究和论述，后来这两个方程被叫做“柯西．黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，并统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，被誉为是抽象科学中最和谐的理论之一。作为一种极为有效和独具特色的方法，复变函数法可以适用于曲线坐标系，因而在多连通域、复杂几何形状以及高应力梯度等问题的求解中得到广泛应用，同时复变函数为弹性平面理论和断裂力学等问题的求解提供了一种极为重要的途径。在利用复变函数法求解弹性平面

3、问题’教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-050878)266时，无需预先估计位移和应力、应变场的特征，无需预先构造未知函数的形式，只需要按部就班，履行解法中所包含的数学推演全过程，问题就完美地解决了，而且得到的是严格的解析解。而在宏观平面断裂问题中，所采用的解析法求解法中大都直接或间接地利用了复变函数理论、保角映射法、Muskhelishvili方法等，或是以这几种方法结合使用来求解。本文主要介绍了自GV．Kolosov以来弹性力学复变函数法的发展和几本具有一定影响和阶段性成果汇集的经典专著，以及近来复变函数解法的新应用和发展等。2关于复变函数法求

4、解弹性平面问题的几本专著弹性力学崇尚严格意义上的解析解，祈求获得同时满足全部弹性力学方程和边界条件的解析解。弹性力学的先驱们为此竭尽所能，在应用数学的海洋中，寻求一种完美的正解法。而复变函数理论正是提供这样的一种工具，在早期的许多重要的弹性力学平面问题都是通过复变函数发法求得的，这是由于线弹性静力学理论所得到的控制方程是一个双调和方程(不考虑体力的作用)，而调和函数、双调和函数与复变函数论的解析函数之间又有着非常紧密的关系。2．1Muskhefishvili的经典巨著(1933)提到弹性平面问题的复变函数法，大多数人认为它是从20世纪初期问世的Muskh

5、elishvili专著《数学弹性力学的几个基本问题》【l】开始的。但实际上对于这一问题还可以追朔到更早期的一些关于边值问题的复变函数法求解理论方面的基础性工作。诸如：一些数学家提出的H类或日“(o<口<1)在柯西型积分理论的发展中起着举足轻重的作用，一直是核函数的首选函数类；柯西型积分边值及其导数仍然属于H类函数；以及积分的置换公式的提出和将高阶奇异性情形下的积分计算转化为低阶的柯西型积分的计算等。柯西型积分理论上的完善为以后的力学家应用复变函数法解决弹性静力学问题奠定了基础。在后来发展起来的固267体力学的分枝——断裂力学中，许多问题都可归结为柯西型奇

6、异积分方程求解。早在1909年，Muskhelishvili的老师，俄国数学家、力学家哥洛索夫(GVKolosov，1867-1936)就将复应力函数法应用于解决二维弹性静力学问题，其求解了一外力作用下的带有椭圆形孔的无限大薄板的应力分布问题。1910年，Kolosov在他的论文集中给出了系统的用复变函数法解决弹性力学问题的理论，给出了在没有外力作用下的复位移和复应力形式uJ：2G(材+如)：寻二坐缈(z)一莉一谚彳历(1)I+“．吒+q=4Re≯(z)，q～吒+2ir,,y=2【矽’(z)+缈(z)】(2)其中缈0)和y(z)地=x+iy的全纯函数(h

7、olomorphicfunctions)，矽(z)=∥(z)，烈z)=v／(z)。并且他给出了一对复解析函数矽(z)，y(z)并使之与控制方程建立了一定的关系，获得了一些简单情况下力学模型的复应力函数的一般表达形式，即哥洛索夫一般表示(也有人称之为复Airy表示或者Muskhelishvili表示)，这为后来的Muskhelishvili就一般平面问题的系统研究和复变函数求解理论的发展奠定了基础。1933年，Muskhelishvili的专著《数学弹性力学的几个基本问题》问世，此书为弹性力学平面问题的复变函数法进行了较全面的论述，阐述了复变函数法求解弹性

8、平面问题的基本理论并概括了当时的许多新的研究成果。Muskhelishvili的