对流扩散方程的一种显式有限体积——有限元方法

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2001年12月应用数学与计算数学学报第1j卷第2期Dec2001COMMONAPPL．MATHANDCOMPUTli．j5No2对流扩散方程的一种显式有限体积一有限元方法寞f安徽大学数学系合肥，230039)摘要：本文给出非线性对流扩散问题的一种有限体积和有限元方法相结合的显式离散方法，证明了数值解的稳定性，并给出了一个实际算例。关键词：对流扩散方程，有限体积方法，有限元方法，显式方法，稳定性1．引言对流扩散方程是描述有粘可压缩流Navie>Stokes方程的最简单模型，它出现在流体力学，气动力学，环境保护，化学工程

2、等各种科技领域，因而，如何更加准确地求解该方程的数值解就成为重要问题求以散度形式表示的偏微分方程的弱解大致有两种常用的方法，即有限元方法(FE)和80年代发展起来的有限体积方法(FV)有限元方法对应于能量方法，自然地导出了椭圆和抛物问题即扩散问题的单元离散方法有限体积方法，从积分守恒形式出发，采用单元剖分，选择控制元离散，通过引入以Pdenlann问题近似解为基础的数值流通量，以一种自然的方式反映出流体力学中的质量，动量，能量等物理量的守恒规律，可以很好地处理非线性守恒律问题，如Euler方程等．特别是80年代以来，由于自适应网格，结构和无结构网格技术的发展，有限体

3、积方法得到了更长足的进步，在处理大变形，激波和各种复杂流体动力学问题的能力，以及在方法的精度和收敛性的理论研究方面都有了实质性的进展把这两种方法相结合，充分发挥各自的特点，非线性对流项利用FV方法逼近，而扩散项利用有限元方法离散，更好地求解具有初边值条件的对流扩散方程．对这种用于对流扩散方程的FV—FM格式的讨论，在f1,2]中证明了一种半隐式FV．FM离散格式的收敛性和误差估计结果，『31给出另一种半隐式FV—FM格式．本文给出一种显式FV—FM格式，证明了格式的稳定性，并用一个算例说明了方法的有效性．本文2001年3月1日收到安徽省教育厅自然科学研究项目f200

4、1kj012)维普资讯http://www.cqvip.com应用数学与计算数学学报15卷2．对流扩散方程的有限体积法和有限元方法相结合的显式离散方法设n∈僻是多边形有界区域，=(1，x2)∈，记Q=n×【0，T)(00为给定的常数，^∈C1【．满足fdo)=0，9∈clio，T】：W(Q))，∈’【f2)这里P，g>2．为给出方程的弱形式，记=硎(n)，用”∈V乘方程的两端，并利用Green公式，得到一娄+n⋯记b(u，)一J蚤2^(u)箍d·((n·t，))如

5、Vu’z·则问题()的弱解为满足下列条件的函数：a)tI∈L(0，：)nL。。(0)b)(“．)+b(“、)十。((，川=(9，∈以(0．)上分布的意义成立，(31【1]中已经证明了问题(3)的解存在唯一·设¨『^是的一种正则无结构三角网格剖分(这里把它称为基础网格)，为剖分的三角形单元，={只∈J)表示所有剖分单元的顶点集，其中，表示指标集合．令h和分别表示剖分单元T的最大边长和最小内角，目h：maxh，0h：niln0．在基础网格上，定义相应的有限体积多边形辅助网格={D，i∈．其中，D1表示包括点的多边形，该多边形是由包含顶点的所有三角形单元的重心与各边中点的

6、连线围成．记，=nD，则r是由一条或两条线段r嚣构成，即r=U'a：01r嚣、当Di维普资讯http://www.cqvip.com2期窦红：对流扩散方程的一种显式有限体积有限元方法47和D，都交于区域n的边界时，=1．否则=2．令s()表示辅助单元D；的所有相邻多边形，如果点B∈an．则记s(i)=s()u{一l}-因此，可以得到对任意的D∈，有扫D=u∈s()I1=Uj∈s()uI1嚣．为得到6(u)的有限体积逼近(n)的形式，需要引入数值流通量日(u，n1，其中n=(n1啦)表示8D的外法线方向．数值流通量日(u，”n)满足性质：对n，"满足局部Llpschi

7、tz条件，即，给定M>0，存在c(M)>0使得1H(u．n)日(、，n)lc(M)(1u“l_一lV一1)，当u，”．“∈[一M，^】；另外，口(“n)和∑(“)n是相容的，即日(“12)=∑，l(“)以及守恒性H(u，．n)=一日("．n，n】和关于第二个变量非增的单调性等．常用的有Lax—h'~riedrichs和Engquist—Osher等数值流通量．利用数值流通量日(“，v，n)和Green定理，对6(“，")可以引入如下的逼近bh(u”)：喜dz”c弓厶喜d)咖sJ∈J⋯J1=∑()∑∑／r。∑^(“)哪ds8，∑()∑∑日(“(PJ)．“()．n)