导数在边界上具有Lipα条件的调和函数插值逼近阶

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1、数学年刊2015，36A(1)：1—12DOI：10．16205／j．cnki．cama．2015．0001导数在边界上具有Lip条件的调和函数插值逼近阶冰涂天亮提要D是由复平面Z中一条Jordan闭曲线r围成的单连区域，=0∈D．函数u(z)在D内调和且在r上u(q)∈Lip(0

2、定性MR(2000)主题分类30E05，30E10，30E25，41A05，41A10，41A25中图法分类O174．42文献标志码A文章编号1000—8314(2015)01-0001—121引言通贯本文，总设单叶解析函数=(叫)是一个从lWl>l到D在全平面上的补集C＼一D的保角变换，使得(∞)=。。，(。。)=d>0．不失一般性，由标准变换可置d=1．推广(叫)到lWl≥1上的连续函数，{)吕_。={(e))吕_1称为F上的Fej6r点．类似地，{)_。：{(et))一称为F上的摄动Fej自点，这里I<，t0=t．=U显然，当∑ltkl=0时，摄动F

3、ej6r点就是Fej4r点．如果导数(叫)在IWI=1上连续且不为零，则称F∈C．如果r∈C且arg(叫)在r上的连续模记为，它满足。IlntIdt<+∞，。>0，t，O则r∈Jo【l】．如果F∈C且(叫)在=1上的连续模记为Crl(t)，它满足厂。dt<+∞，。>0，0则r∈J[2]．显然．70C【3，第1节，定理21．令f(z)在D内解析，在上连续，且具q阶导数，(q)()(q≥0，q是整数)在r上连续且满足Lip(0<<1)条件，则记为f∈()．如果q=0，我们理解为f(z)∈A。(D)．本文2014年4月22日收到，2014年1O月8日收到修改稿．

4、华北水利水电大学数学与信息学院，郑州450011．E—mail：tutl@ncwu．edu．cn；mochiwu@zzu．edu．cn本文受到河南省自然科学基金(No．20001110001)的资助．2数学年刊36卷A辑设，()=u(x，Y)+iv(x，Y)∈()．这意味着对于0≤k≤q，“()(，Y)=Re{f()(z))和u()(，Y)=Im{f(’())是D内共轭调和函数，在r上满足LipOl条件，且由．厂(a)()在D内的解析性，有Ou(q)Ov(q)Ou(q)Ov(q)，一，，、)∈、·1929年，Walsh[Ipl】问：设D是复平面上的区域，O

5、D=F．令乱(z)与{}已给于r上．试问何时可以一致确定一个调和多项式的系数，它与(z)在点{zk}上的值相同，且当n一+。。时，它的渐近性质如何．设D为单连区域，而r是Jordan闭曲线，是否存在一个次数为Tt一1的调和多项式u(，)，在点()吕上与u(x，Y)之值一致，并使得maxI(，Y)一u(x，Y)I=0．(1．1)zED这是一个有趣的问题．如何构造这样的多项式?1960年，Curtiss[5，第2节]令Ln()=∑，cJ=aj+i，=cosj0+ir3sinj0，j=oL()=+ivk，，是实数．于是札～1n()：=Re{L(z))=n0+∑n

6、Jc。sj0一bjsinjO．(1．2)为了确定(1．2)中调和多项式，“(，Y)的2礼一1个系数，考虑n一1Un(Zk)=ao+∑[0Jrcosj0k—rsinj0k]=Uk，k=1，2，⋯，2n一1．(1．3)j=l也许方程组(1．3)没有唯一解，例如，若：0(1≤k≤2n一1)，则包含bj(1≤J≤n一1)的项全为零，从而剩下的aj(0≤J≤n一1)，一般说来不能满足2几一1个方程．(1．3)有唯一解的充要条件是对应的矩阵M／f1r1cos01⋯r一COS(T~一1)p1r1sin01⋯r一sin(n一1)p1、Ir2cos日2⋯r；_。COS(Tt

7、一1)o2r2sin日2⋯r孑_。sin(n一1)02lJ，‘4．、J＼1r2礼一lcos2n一1···r2n札-一1lcos(n一1)o2礼一1r2n～1sin02n一1·一rn-一：[1sin(n一1)02一1／是非奇异的．于是，为了实现极限等式(1．1)，首先必须考虑：边界r应满足什么条件?1960年，Walsh[。】证明了：设r是椭圆，在r上u(x，Y)∈LipOl，则存在一个r上等距节点系的调和插值多项式，它在上一致收敛于u(，)．1969年，Curtiss[]假设r是一条闭的解析曲线，证明了在F的Fej~r点上，存在一个调和插值多项式，在D内闭

8、集上一致收敛于(z，)．1975年，Menke[剐假设r也是一条闭