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1、有限元和有限差分的区别与相似之点〔葡萄牙〕奥立维拉引言,有限差分法有如下两个基本特征为求近似解在每个节点附近进行局部插值以及使用。配置方法,,,则但是如果将区域剖分成许多子域使在每个子域中设置唯一的节点在每个节点附。近的局部插值也可用于有限元,那么有限差,如果使用这类单元分法和有限元法的区别只是在于为了得到近似解前。者使用配置方法而后者使用变分方法,。,然而有意思的是用配置方法产生的近似解也可以用变分方法来得到这样就有可。能平行地叙述两种方法业且阐明它们的相似点与不同点,。当然以前有人尝试过将有限差分法作为一
2、种变分方法来介绍,例如〔〕写过关于椭园问题的变分近似业且将有限差分法看作是提供这种近。。似的一种方法〔〕对某些发展方程也做了同样的工作,。但是在这些文章中对有限元法并未做过类似的工作这种类比的可能性后来由。,〔〕指出在本文中符号。和。将用于表示与有限元和有限差分有关我们采用下述记号。与区域仁有关的实希尔伯特空间,‘,,,,,。,,一一,。内积,犷而丁瓜,、,。的稠密线性子空间算子的定义域—盆
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6、净尹与有限差分法有关的逼近算子—二、一程方我们的问题是求解方程,二。。尹任,“是正下有界的即存在正敬使,。好约尹任》。、‘这事卖课证问题是遣定韵,。任。,。为简单起见我们假定于是方程是一个尸阶微分方程业且具有齐次,二。主边界条件即这些条件用函数的尸阶或低于价包括尸的导数表示三、离散化,,。设在中迭个点在口上迭个点组成一集合它们是的内节点和外节点·”,于,将。剖分为个子域。使得每‘个内节点氰位不同的子域中而不是蒙通有的有。限元法那样位于子域的边
7、界上“,产。对每一个函数任月使其与另一个属于有限维子空间久二的函数相对应我。,。,。。·们写作并将,叫做插值算子向题将得散化瘾。,。一函数尹任H或应由u在节点n以及位于n附近但不在n在每一个子域中外的一组,而不应该象通常的有限元法那样用u在位于子域边界上的节点值插值节点上的值插值得到。得到我们使用通常的求和约定并写成u‘(劣)“功n‘(x)U盆在n。中(3.1),:x)。其中U二=u(xK)即数值U尺是(的节点值,二。‘二,石。就配置方法来说我们假定在n中A劝C二CnK是非零常数我们因而假定Lc=,。AC,、一。,
8、就变分方法来说非零函数是贫娇吹而不是滩功K当然这相对于配置方法来说就有重。要的优点。空间H二〔H是插值算子的值域.A。d和尹都可以是空间H至以及H上的距离我们有,:,,一。:,J()(一互J(,)。(32)其,中是(2J2)喇的企颧乙,‘二Ad但是
