第31届中国数学奥林匹克

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1、2016年第3期21圆第31届中国数学奥林匹克中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2016)03—0021一o61．设正整数01，n2，⋯，6t3l，b1，b2，⋯，b3l(0一n)-0(roodP)，满足(1)01<口2<⋯<03】≤2015，其中，下标按模p理解，即0+=口．6113，不超过n的素数共有k求S=lal—b1l+I口2一b2l+⋯+11一b31I个．设A为集合{2，3，⋯，n}的子

2、集，A的元素的最大值．(何忆捷供题)个数小于k，且A中任意一个数不是另一个2．如图l，在凸四边形ABCD中，K、、、数的倍数．证明：存在集合{2，3，⋯，n}的kⅣ分别为边AB、BC、CD、DA上的点，满足元子集，使得曰中任意一个数也不是另一AKDABLABCM————一旦一个数的倍数，且B包含A(瞿振华供题)KB—BC’LC—CD’MD—DA’NA—AB’5．在平面中，对任意给定的凸四边形延长AB、DC交于点E，延长AD、BC交于点ABCD，证明：存在正方形BC'D(其顶点可设△AEF的内切圆在边AE、AF上的切点以按顺时针或逆时针标记)

3、，使得点A与A、分别为Js、，△CEF的内切圆在边CE、CF上点B与JE}、点c与c、点D与D分别不重合，的切点分别为、证明：若K、、、Ⅳ四点且直线AA、BB、CC、DD经过同一个点．共圆，则．s、、、四点共圆．(周青供题)6．一项赛事共有100位选手参加，对于任意两位选手、Y，他们之间恰比赛一次且分出胜负，以Y表示选手战胜选手若对任意两位选手、Y，均能找到某个选手序列1，2，⋯，(≥2)，使得lZ12⋯Y，图1则称该赛事结果为“友好”的．(熊斌供题)(1)证明：对任意一个友好的赛事结果，3．设P为奇素数，口，0，⋯，0为整数．存在正整数m

4、满足：对任意两位选手、y，均证明以下两个命题等价：能找到某个长度为m的选手序列。，Z2，⋯，(1)存在一个次数不超过的整系数(，，⋯，可重复)，使得厶=Z12⋯名mY；多项式)，使得对每个不超过P的正整数i，均有i)兰(roodP)．(2)对任意一个友好的赛事结果，将符合(1)中条件的最小正整数m记为m()，(2)对每个不超的正整数d，均有求m(T)的最小值．(王新茂供题)22中等数学2．设AB=，BC=b，CD=c，DA=d．参考答案由已知得1．定义集合AK=，肷=，趾，A={mIn>b，1≤m≤31}，B={nl口

5、=n+C，=6+d，=b+d，令s=∑(0一6)，5=∑(b一口)．DN：．Ⅳ：．则5=S1+．S2．+CⅡ+C又由条件(2)知若+c>b+d，贝0s一5：∑(0一6)=oAK>ANAKN一KNA一脚一MLC一MND记M：口一b=m野{n一b}，M+NKL>MNK+MLK．=bl一口{bn—n}·这与、、、Ⅳ四点共圆矛盾．故+c>

6、b+d不成立．下面证明：M+≤1984．类似地，口+C31一Z，E—AF：WE—Z=EY—FX=EC—rb1>k，f—nI>1一．故+≤2015一(31一Z)一一(Z一)=1984．又显然S1≤MIAI，S2≤I曰I，从而，SS，S，1984>iu≥+≥+=≥A．s

7、≤——一X1l984：=30720．jl2另一方面，若取设△AEF的内切圆、△CEF的内切圆在(01，02，⋯，16，nl7，018，⋯，口31)边EF上的切点分别为G、H则=(1，2，⋯，l6，2001，2002，⋯，2015)，2(FG—FH)(61，b2，⋯，b31)=(961，962，⋯，991)，=(EF+／4F一E)一(EF+CF—CE)则条件(1)、(2)均满足，此时，=(AF—AE)一(CF—CE)=0．S=2S1=2×16X960=30720．因此，△AEF的内切圆、△CEF的内切综上，s的最大值为30720．圆与边切于同

8、一点，仍记为G．2016年第3期23由ES：EG=EU及F=FG=F，知引理3的证明事实上，7c一UESA+ADCEUS=22=∑f(+d)+∑()一7c一+ABCF=一==一2