第七届罗马尼亚大师杯数学邀请赛

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1、2015年第6期35第七届罗马尼亚大师杯数学邀请赛中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2015)06—0035—071．是否存在一个正整数的无穷数列m+(ma)>口．口，口：，⋯满足：与口互素当且仅当6．给定一个正整数n．求最大的实数，lm—nl=17满足：对“开”单位正方形内的任意一个由2．两名玩家在一个正n(≥5)边形边界4n个点构成的集合c，存在一个内的“开”上玩游戏．一开始，有三枚棋子位于正n边形矩形，满足如下性质：的连续三个顶点处(每一个顶点上各有一枚(1)开矩形的边均与

2、的边平行；棋子)，然后玩家轮流进行如下操作：选取其(2)开矩形恰包含集合C中一个点；中的一枚棋子，沿正n边形的边界移动到另(3)开矩形的面积至少为一个没有棋子的顶点，中间可以经过任意多【注】所谓“开”图形是指不含该图形的条边，但不可跨越其他棋子，使得以这三枚棋边界．子为顶点的三角形面积在移动后比移动前严参考答案格增加．规定当一名玩家无法按照上述规则移动棋子时，该玩家即为输家．问：对哪些，1．解法1存在．先手有必胜策略?设全体素数数列从小到大依次为3．在黑板上写着一列有限个有理数，一2pl

3、指：先从这列数中任选两数口、b擦定义a1=p1P2，02：p3p4，对正整数后≥2，令2k一3、去，然后写下如下形式中的一种：a。=一f、IiIPi一。lP4k-3P一：，口+b，0一b，b一口，口Xb，=1，一L，k一2、旱(b≠0)，(0≠0)．=f、ⅡiP2f1P4k-1P4．D0=1，证明：对于每一个给定的正整数n>1130，下面证明：这样构造的无穷数列{a}仅存在有限多个整数k≥0，使得由k+1，(n≥1)满足题设．k+2，⋯，k+n构成的一列数，在n一1次操由素数有无穷多，知这样的{a}(n≥1)作后得

4、到!．是无穷正整数数列．4．在△ABC中，已知D为△ABC内切首先，因为P112，口2尺(

5、j})(0≤(k)≤p—1)为k被P除后的余一1=(PiP3P5··4k-7P4一3)P4^一2，数．试求所有正整数0

6、p4一1，=1，2，⋯，P一1，均有口2+】=(PlP3⋯P4一3P4+1)P4+2．36中等数学由于素因子不同，从而，从而，当Im—nl=1时，(a，a)=1．(a2一1，口2)=(a2，a2+1)=1．(3)／／7,≥n+2．故由l，孔一nl=1=(a，口)=1．(i)若2十m，则其次，(a，a)=a>1，故对r、s∈Z+，amP2m—lP2mPlP3P5⋯P2一5·r=S，有(a，，a)>1．因为／'／2≥n+2，所以，对正整数m<，2m一5>12(n+2)一5=2n一1P1Ia2l，Plla2j2n一1∈{

7、l，3，5，⋯，2m一5}．一一1j(a2一1，口2一1)>1，P4l口2，P4I2=(a2，a2)>1，于是，P2一1Ia．由2m<2n一1，知故(a，a)≥p2一l>1．p4m一1102m，p(ii)若2Im，则一lla+1=(a2m，a2十1)>1，且当rrt12(rl,+2)一4=2n故(02+l，a2)>1．2n∈{2，4，6，⋯，2m一4}．这表明，对所有r

8、、s∈Z+，卜-SI>2，有于是，P210．(a，，a)>1．古炙(口，口)≥p2>1．从而，上面构造的{a}满足从而，当Im—nl>-2时，(a，a)>1．综上，结合(1)～(3)知(a，a)=1Im—nl：1．解法2由于素数有无穷多个，记(a，a)=1铮lm—nI=1．Pl

9、4’2-I．一一4，·点C的弓形内正n边形的边的数目．接下来证明上述{a}满足条件．定义B、C及C、A的距离数组(a，6，c)为对任意的正整数m、n，不妨设m≥凡．AB间、BC间、间距离的一个排列，使得(1)m=．a≤6≤c，贝0a+6+c=n．由P2n-lP2la，知a≠1．假设某次操作，于是，(a，a)=a>1．将棋子从点C移到(2)m=n+1．C，作C