第二节—正项级数 [兼容模式]

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1、2013-5-13§8.2正项级数8.2正项级数的收敛性1.正项级数收敛的原理一、正项级数的概念2.比较判别法3.比较判别法的极限形式4.(达朗贝尔)比值判别法二、正项级数的收敛判别法5.(柯西)根值判别法6.积分判别法2一、正项级数的概念二、正项级数的收敛判别法常数项级数含有正项级数、负项级数与一般由于数列性级数。判定常数项级数的敛散性，在很多场合都归结为正项级数的敛散性问题.所以正项SSu级数是一种非常重要的级数,尽管其形式上非常nn11n简单．则正项级数的部分和数列{sn}是单调增数列，定义若un≥0(n=1,2,…)，则称级数un为根据数列

2、极限存在准则知，如果{sn}有上界，n1正项级数．则一定收敛，因此可得如下定理:312013-5-13二、正项级数的收敛判别法二、正项级数的收敛判别法11111.正项级数收敛的原理例1级数p1pp...p...n1n23n定理1正项级数un收敛的充分必要条件(其中p＞0)称为p-级数，讨论此级数的敛散性．n111解简单说明.当p≤1时,因是它的部分和数列{s}有（上）界。npnn111于是s1....nppp注：定理说明，若正项级数发散，则部分和23n数列无界。1111....23n右端是调和级数的部分和，它发散

3、于+∞,故{sn}无界，从而级数发散.二、正项级数的收敛判别法二、正项级数的收敛判别法当p＞1时，可以证明综上所述，对于p-级数,当p≤1时发散；当p>1时收敛．111sn1pp....p从此例可以看出，具体判定部分和数列是否有界，往往比23n较困难，故很少直接用定理1来判定正项级数的敛散性。1但我们可以另取一个敛散性已知的正项级数与它作比较，1p1从而确定它的部分和数列是否有界．按照这个想法，可由定理1进一步推得正项级数以下的几个常用收敛性判别法．这表明{sn}有上界，由定理1知p-级数收敛．22013-5-13二、正项级数的收敛判别法二、正

4、项级数的收敛判别法2、比较判别法证设级数un和vn的部分和数列分别为{}和{}，snnn1n1定理2设un和vn由un≤vn(n=1,2则有s≤σ.n1n1都是正项级数，且un≤vn(n=1,2…),则有如下结论:(1)当级数vn收敛时，由定理1可知{n}有界，（）如果级数1vu收敛，级数也收敛；（大收小收）n1nnnn11（）如果级数2uv发散，级数也发散；（小发大发）从而{sn}有界，故级数un收敛。nnn1nn11(2)是(1)的逆否命题，用反证法可推知(2)成立．910二、正项级数的收敛判

5、别法二、正项级数的收敛判别法例2讨论P-级数ndx11111(1)11xpp1np1p111111的收敛性.(p0)pppp234n即sn有界,则P级数收敛.11解设p1,p,则P级数发散.nn当p1时,收敛y结论P级数1ndx当p1时,发散设p1,由图可知npn1xp1y(p1)111pxs1nppp参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.23nx2dxndxo123411xpn1xp121132013-5-13二、正项级数的收敛判别法二、正项级数的收敛判别

6、法推论1(比较判别法)证设un,vn部分和分别是Snn,,Tn1n1设两个正项级数uvnn及的对应项满足:nn11ucvn(1,2,,0c)nn因ucvn(1,2,,0c)则(1)当级数vn收敛时,级数un也收敛;（大收小收）nnn1n1于是,(Suuucvvvc)T(2)当级数u发散时,级数v也发散。（小发大发）nn1212nnnnn1n114二、正项级数的收敛判别法二、正项级数的收敛判别法则(1)当级数vn收敛时,T有上界,那么S也有界。nnn1推论2设

7、u和v都是正项级数，且且存在自然数N和k,故级数u收敛。nnnn1n1n1(2)当级数un发散时,limnSn,于是limTn使得u≤kv(n=N+1,N+2,…),则有如下结论:n1nnn故级数vn发散。n1（1）如果级数vn收敛，级数un也收敛；n1n1注:因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性。（2）如果级数un发散，级数vn也发散；故定理中的不等式不一定从首项就开始面满足,n1n1即下面的推论。1642013-5-13二、正项级数的收敛判别法二、正项级数的收敛判别法1例3判定级数

8、2sinn例4判定级数n的敛散性3n