数学专题大讲堂-阿氏圆最值问题

《数学专题大讲堂-阿氏圆最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、AB+kCD求最值之阿氏圆问题几何中求线段之和的最值问题是我们在初中阶段十分常见的一种类型题目，常见类型包含“将军饮马问题”、“阿氏圆问题”、“胡不归问题”。此类题目一般综合性、灵活性、应用性较强，一般学生做起来会感觉比较困难。通过总结我们不难发现此类题目一般的解法都是通过转换或构造把线段之和问题转化为点到点的距离最小或点到线的距离最小问题。PB“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点A,B，设P点在同一平面上且满足=λ,PA当0且1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。（1时P点的轨迹是线段A

2、B的中垂线）BP如图：=.036为固定值，则此时点P的运动轨迹为ΘΟ。AP证明：设B点坐标为（0，0）；A点坐标为（m，0）；P（x,y）.2222则PB=x+y，PA=(x-m)+y.22PBx+y由=λ得=λPA(x-m)2+y2222222整理得：(1-λ)(x+y)-2mλx-λm=02mλmλ222(x-)+y=()22-1λ-1λ2mλmλ所以当0且1时，P点的轨迹是个圆，圆心为()0,，半径r=。22-1λ-1λOBOPPB所以此时有===λOPAOPA所以一定会有△OPB∽△OAP

3、。在初中阶段我们不要求学生能够证明，只要求学生能够记住这个模型中有这样一对相似三角形，并且能够利用这个固定结论构造这样的相似三角形来解决实际问题就可以了。例1：问题提出：如图1，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，ΘC的半径为2，P1为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+BP的最小值。21自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为__________；3拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2AP+PB的

4、最小值。图1图2例1图分析：以前我们做过“将军饮马”类型的求最值问题，就是求两条线段或三条线段之和最小的问题，在“将军饮马”问题中，各条线段的系数都是1.那么在此题中，也是求两条线段之和最小，但是，每一问中都有线段的系数不为1，并且，动点的运动轨迹都是圆（或弧）。11解决此类问题的关键就是如何构造出BP、AP、2AP这些系数不为1的线段，那么我23们就可以应用构造相似来解决（也就是阿氏圆中的那个固定相似结论）。此时应注意题目所11给的暗示“CB=4，CA=6，ΘC的半径为2”，为什么会出现、、2这样的系数

5、而不是其23他的系数呢？PC21解：如图解1，连接CP，构成△BCP，且==；在BC上取一点D，使得CD=1，连接BC42DC1DP，构成△PCD，此时=；又因为∠PCD=∠PCB，所以△PCD∽△BCP，且相似比为2:1。PC211所以PD=PB。所以求AP+PB的最小值即是AP+PD的最小值。由于A、D是定点，22P是ΘC上的动点，所以直接连接AD的长就是AP+PD的最小值（如图解2）。利用勾股定1理可算得AD=37.所以AP+PB的最小值为37。2PC212同理：如图解3，连接CP，构成△ACP，且

6、==；在AC上取一点E，使得CE=，AC6332EC31连接EP，构成△PCE，此时==；又因为∠PCE=∠PCA，所以△PCE∽△ACP，且相似PC2311比为3:1。所以PE=PA。所以求AP+PB的最小值即是EP+PB的最小值。由于B、E33是定点，P是ΘC上的动点，所以直接连接BE的长就是EP+PB的最小值（如图解4）。利212用勾股定理可算得BE=37.所以AP+PB的最小值为37。333解1解2解3解4AO31如图解5：连接OP，构成△A0P，且==；在0C延长线上取一点F，使得CF=6，连P

7、O62PO61接FP，构成△POF，此时==；又因为∠POA=∠POF，所以△AOP∽△POF，且相似FO122比为2:1。所以PF=2PA。所以求2AP+PB的最小值即是FP+PB的最小值。由于F、B是定点，P是ΘO上的动点，所以直接连接FB的长就是FP+PB的最小值（如图解6）。利用勾股定理可算得FB=13.所以2AP+PB的最小值为13。解5解6例2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，ΘC的半径为2，点D是ΘC上的动点，点E在BC上，1CE=1，连接AD、DE，则AD+2DE的最

8、小值为__________。2例2题图1分析：在这道题目中要求的是AD+2DE的最小值，我们会发现，AD、DE两条线段的系数2均不为1.但由于此时点D在ΘC上，所以我们仍然可以利用阿氏圆中的规律来解决问题。同时注意：题目已经给了我们暗示“AC=BC=4，ΘC的半径为2，CE=1”这些条件不就隐藏着题目所要求的比例吗？CECD1解：连接DC.由于CE=1、CD=2、CB=4。所以==,又由于∠DCE=∠BCD。CDCB21所以△