《弹性力学简明教程》习题4-15

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1、《弹性力学简明教程》习题4-15摘要：本文通过三种不同的计算方法三种计算然后对比不同计算方法计算的结果，并得出计算结果之间的误差。三种计算方法中，前两者是基础，为理论解答，后者有限元计算是一种广泛应用于工程中的具有一定精度的概算方法。我们只有通过前者的理论求解进而验证有限元是否真确，才能将有限元应用于实践。本文通过ABAQUS模拟，ABAQUS作为国际上最先进的大型通用有限元软件之一，具有广泛的模拟性能，它有用丰富的、可模拟任意几何形状的单元库，并拥有各种类型的材料模型库，同时它又具备友好的界面，使用起

2、来非常简单容易上手。关键字：弹性力学；塑性力学；有限元；ABAQUS61题目在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为，，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。图1模型示意图2弹性力学解答【解】求出两个主应力，即。原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。应力分量，，代入坐标变换式，得到边界上的边界条件，（a）。（b）在孔边，边界条件是，（c）。（d）由边界条件式(a)、(b)、(c)、(d)可见，用半逆解法时，可假设为的某一函数乘以，而为的另一函数乘以。而，。因此

3、可假设。（e）将(e)式代入相容方程得删去因子以后，求解这个常微分方程，得，其中A,B,C,D为待定常数，代入式(e)，得应力函数，(f)由应力函数得应力分量的表达式6将上述式代入应力边界条件由式(a)得(g)由式(b)得(h)由式(c)得(i)由式(d)得(j)联立求解式(g)~(j)，并命，得将各式系数值代入应力分量的表达式得沿着孔边，环向正应力是。它的几个重要数值如下表所示。表1不同角度处的应力值0°30°45°60°90°0沿着y轴，，环向正应力是它的几个重要数值如下表所示。表2距孔处不同距径处

4、的应力值可以看出应力在孔边达到均匀拉力的4倍，但随着远离孔边而急剧趋近于q。3理想弹塑性体解答假设该模型为理想弹塑性材料，屈服应力为3.45×108Pa，屈服准则采用Mises屈服条件，即认为材料的最大剪应力达到某一个极限材料发生屈服。(k1为材料常数)由上可知，在孔内部环向正应力，而孔内由于临空故，将其代入式中，在材料达到临界条件时满足式其中k1为3.45×108P求得临界应力为由于材料为理想弹塑性材料，在其达到临界条件时，满足弹性力学的胡克定律取钢材的弹性模量为2.1×1011泊松比为0.3代入上式

5、得4ABAQUS模拟解答4.1模型数据本文通过大型有限元软件ABAQUS建立理想弹塑性材料的模型。弹性及塑性材料选取参数见表3。表3模型参数值弹性参数塑性参数Young’sMPoissn’sRatioYieldStressPlasticstrain2.1e110.33.45e80为了对比不同网格密度对精度的影响本例采取两种不同密度的网格，其中粗网格种子密度为30，细网格种子密度为5，对于小孔为另外采用种子布置，布种时都采固定数目，粗网格沿圆布5个，细网格沿圆布15个。6网格控制属性为三角形单元，勾选算法

6、中的“在合适地方使用映射网格”。计算单元类型在Standard中选取CPS3单元(三结点平面应力三角形单元)。模型尺寸见图2。加载时，为防止突然加载对结果造成影响，采用线性逐级加载，将1000N平均分为10个Step，再在每一个Step中将荷载施加上去。为分析小孔处的应力变化，建立沿孔内侧的路径1。图2模型尺寸图4.2网格划分为较好地对比结果，对模型如上表对应点进行编号，具体见图3，其中1~5编号为Path-1，A~D编号为Path-2。为验证网格越密计算精度越高，故有限元采用两种网格密度，如图4（a）

7、、(b)所示。网格划分采用三角形自由划分技术，算法中勾选“在合适的地方使用映射网格”。图3对比节点编号图图4(a)模型密网格图图4(b)模型稀网格图4.2计算结果图4.2.1Mises应力云图图4.2.2Path-1下Mises随序列ID变化图图4.2.3Path-2下Mises随序列ID变化图6图4.2.4应变计算云图图4.2.5Path-1下应变随路径变化图图4.2.6Path-2下应变随路径变化图图4.2.7位移计算云图图4.2.8位移随圆孔路径变化图图4.2.9位移随Path-2路径变化图选取节

8、点应力应变值见表4表4选取节点应力应变数据表节点编号应力应变(E-009)1-2994.847.0457421534.852.26844321.17134.441694-1539.162.9120952910.897.92854A889.092.88826B767.424.49059C754.475.74445D751.676.031515综合比较综上弹性力学、塑性力学及有限元结果进行对比。5.1弹性力学与有限元比较图5.1.1弹性力学与有