北航空气动力学

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1、空气动力学基础第三章理想不可压缩流体平面位流（6学时）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课第3章理想不可压缩流体平面位流3．1理想不可压缩流体平面位流的基本方程3．2几种简单的二维位流3．2．1直匀流3．2．2点源3．2．3偶极子3．2．4点涡3．3一些简单的流动迭加举例3．3．1直匀流加点源3．3．2直匀流加偶极子3．3．3直匀流加偶极子加点涡3．4二维对称物体绕流的数值解2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程

2、，本章应该讨论怎样求解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相当的可信程度。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程初始条件和边界条件为在t=t0时刻，在物体的边界上在无穷远处思

3、考：为什么需要边界条件？2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课3.1、平面不可压位流的基本方程如果没有无旋条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度V和压强p相互耦合影响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化，特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场的速度旋度为零，即存在速度势函数（位函数）为思考：速度和压力需要耦合求解是什么意思？2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课3.1、平面不可压位流的基本方程如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到：由此可见，

4、利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方程赋予适当的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。与压强p没有进行耦合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速度值作为已知量代入运动方程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分得到。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课3.1、平面不可压位流的基本方程由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由Bernoulli方程得到。在这种情况下整个求解步骤概括为：（1）根据纯运动学

5、方程求出速度势函数和速度分量；（2）由Bernoulli方程确定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简化了问题的复杂性。综合起来对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程及其初边界条件为初始条件为边界条件为在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度势函数的偏导数。边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通常分为内边界和外边界。对飞行器或物体而言，内边界即飞行器或物体表面，外边界为无穷远。3.1、平面不可压位流的基本方程（边界条件）按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的法向导数，边界条件分为三种类型：（1）第一边值问题（狄利希特问题）

6、：给出边界上位函数自身值（2）第二边值问题（诺曼问题）：给出边界上位函数的法向导数值（3）第三边值问题（庞卡莱问题）：给出部分边界上位函数自身值，部分边界上位函数的法向导数值空气动力问题大多数属于第二边值问题2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体处，速度为V∞，内边界是物体表面，不允许流体穿过或表面法向速度为零外边界内边界n为物面法向可以证明，拉普拉斯方程的解若在给定边界上能满足上述条件，则解是唯一的。求不可压理想无旋流绕物体的流动问题就转化为求解拉普拉斯方程的满足给定边条的特解这一数学问题2010年版本北京航空航天大学《

7、空气动力学》国家精品课2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课3.1、平面不可压位流的基本方程2、速度势函数的性质（1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响流体的运动。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课3.1、平面不可压位流的基本方程（2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。如果速度势函数满足拉普拉斯方程，