自然数K次方和

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1、作品名称：连续n个自然数的k次方和之研究摘要：我们在书上看到高斯推导出这样的公式n×（n＋1）÷2，引起我们的动机想推出连续ｎ个自然数二次方和、连续ｎ个自然数三次方和……连续ｎ个自然数ｋ次方和。首先，我们应用Excel软件计算出连续自然数n次方和及各阶差，发现连续k次方数和会在第k阶差时形成等差为k！的数列。下一步，我们利用金字塔式相加法算总和时，第一层放k!，每一层的第一个数只要算出来，即可用金字塔式相加法算出总合；当第一层放一个k!，可推出(k+1)个的总和；从第二层开始的每一层之第一个数都隐藏着帕斯卡尔系数，我们尝试用以下公式表示:kk1kk2kkkk

2、k第二层第一个数=C0k+(−)1C1(k−)1+(−)1C2(k−)2..........+(−)1Ck1k−1k1k−1k2k−1kkk−1k第三层第一个数=C0(k−)1+(−)1C1(k−)2+(−)1C2(k−)3..........+(−)1Ck1k−2k1k−2k2k−2kkk−2k第四层第一个=C0(k−)2+(−)1C1(k−)3+(−)1C2(k−)4..........+(−)1Ck1nkC1n−1nkk+C(2−1)n−2nkkk+C(3−2•2+1)n−3nkkkk+C(4−3•3+3•2+1)n−4nkkkkk+C(5−4•4+6

3、•3−4•2+1)n−5n个自然数k次方和=...n+Ck!n−1−k1壹、研究动机高斯在小学时曾做过这样的题目：「1＋2＋3＋4……..＋97＋98＋99＋100」，高斯想了一下便算出了答案，他的作法是「1＋100」＋「2＋99」…….「50＋51」总共有50个101，聪明的高斯想出了这样的公式n×（n＋1）÷2。我们想学习高斯试着找出连续ｎ个自然数二次方数和、连续ｎ个自然数三次方数和……连续ｎ个自然数的ｋ次方和的规律并推出公式。貳、研究目的：一、探讨连续ｎ个自然数的ｋ次方和的规律性二、试着推导连续ｎ个自然数的ｋ次方和的方法三、试着推导连续ｎ个自然数的ｋ次

4、方和的公式參、研究设备及器材：计算器、纸、笔、计算机、计算机软件：word、excel肆、名词解释：一、连续ｎ个自然数的ｋ次方和:一串连续自然数的ｋ次方相加所得的和。111例如：3个自然数的1次方和：1+2+3＝6。二、阶差:一个由小排到大的数列，用后数减前数所得的差。三、阶乘：由某数递减连乘。如：５！＝５×４×３×２×１。四、等差数列：由小排到大（或由大排到小），相邻两数差一样的数列。如：1、2、3、4、、、或5、9、13、17、、、等。nn!五、组合：n个不同的事物中，选取m个，用C=mm(!n−m)!伍、研究过程：一、探讨连续自然数ｎ次方和的规律性应用

5、Excel软件计算出连续自然数n次方和及各阶差。二、试着推导出连续自然数ｎ次方和的方法利用纸笔尝试不同方法推导出连续自然数ｎ次方和的方法三、试着推导连续ｎ个自然数的ｋ次方和的公式2流程图利用紙筆嘗試用不同方法計算n次方和方法一:利用除法方法二:利用階差法失敗應用電腦軟體計算製表格利用金字塔式相加的方法算出試著以我們的方法解出1~8次方的和推導公式帶數字證明公式整理公式结束陸、研究结果与讨论：3一、探讨连续ｎ个自然数的ｋ次方和的规律性（一）连续n个自然数一次方和及阶差ｎ＝1234567891011121314一次方数和136101521283645556678

6、91105一阶差234567891011121314二阶差111111111111（二）连续n个自然数二次方和及阶差ｎ＝1234567891011121314二次方数和15143055911402042853855066508191015一阶差49162536496481100121144169196二阶差579111315171921232527三阶差222222222224（三）连续ｎ个自然数三次方和及阶差ｎ＝1234567891011121314三次方数和193610022544178412962025302543566084828111025一阶差8

7、276412521634351272910001331172821972744二阶差19376191127169217271331397469547三阶差1824303642485460667278四阶差6666666666（四）连续ｎ个自然数四次方和及阶差ｎ＝1234567891011121314四次方数和117983549792275467687721533325333399746071089271127687一阶差168125662512962401409665611000014641207362856138416二阶差6517536967111051

8、69524653439464160957825985