排列组合算例、讲解整理

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1、例1.六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法?如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?　　分析：1.实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360种。　　2.先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种，∴共=120种。　　例2．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?　　分析：首先不考虑男生的站位要求，共A(9,9)种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9×8×7×6=3024种。　　若男生从右至左按从高到矮的顺序，

2、只有一种站法，同理也有3024种，综上，有6048种。　　例3.三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?　　分析：先认为三个红球互不相同，共A(5,5)=120种方法。　　而由于三个红球所占位置相同的情况下，共A(3,3)=6变化，因而共A(5,5)/A(3,3)=20种。　　公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。(P是旧用法，现在教材上多用A，Arrangement)　　公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。　　例4.从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。分析：

3、首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c决定，又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。　　例5.某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。（三）事实上，当把向上的步骤决

4、定后，剩下的步骤只能向右。从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴本题答案为：=56。2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合　　例6．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有一种选择，同理A、B位置互换

5、，共12种。　　例7．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。(A)240(B)180(C)120(D)60分析：显然本题应分步解决。（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。　　例8．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法

6、，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。　　例9．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，有种；第二类：这两人有一个去当钳工，有种；第三类：这两人都不去当钳工，有种。因而共有185种。　　例10．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三

7、张可以组成多少个不同的三位数?分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。抽出的三数含0，含9，有种方法；抽出的三数含0不含9，有种方法；抽出的三数含9不含0，有种方法；抽出的三数不含9也不含0，有种方法。又因为数字9可以当6用，因此共有2×(+)++=144种方法。　　例11．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是