总体、样本与统计量

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1、probabilityprobability第六章数理统计的基本概念§6.1总体、样本与统计量§6.2常用统计分布一、引言数理统计以概率论为理论基础,研究2)研究如何合理地分析随机数据从而作出科学的推断(称为统计推断).§6.1总体、样本与统计量1）研究如何以有效的方式收集和整理随机数据;数理统计的引入两类工作有密切联系.将主要介绍统计推断方面的内容.总体：研究对象的单位元素所组成的集合.个体：组成总体的每个单位元素.例1要考察本校男生的身体情况，则将本校的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是一个个体.二、总体如，关心电子元件的寿命，则寿命X为其一个数量指标，且X是服从指数分布

2、的随机变量.例2考察某厂生产的电子元器件的质量，将全部产品视为总体，每一个元器件即为一个个体.通常需要对总体的一项或几项数量指标进行研究.如仅考虑男生的身高和体重(X,Y),不考虑男生的视力、胸围等.以后将(实际)总体和数量指标X等同起来.总体是随机变量由于上述数量指标往往是随机变量，具有一定的分布.总体分布是指数量指标X的分布.三、样本一般，从总体中抽取一部分(取n个)进行观测，再依据这n个个体的试验(或观察)的结果去推断总体的性质.样本:按照一定的规则从总体中抽取的一部分个体.抽样：抽取样本的过程.样本容量：样本中个体的数目n.将第i个个体的对应指标记为Xi，i=1,2,…,n

3、,构成的随机向量(X1,X2,···,Xn)称为样本.样本是一组随机变量，其具体试验(观察)数值记为：x1,x2,···,xn，称为样本观测值，简称样本值.为使样本具有代表性，抽样应满足什么条件从民意测验看抽样?（1）Xi与总体同分布；（2）X1,X2,···,Xn相互独立.定义6.1.1设X1,X2,···,Xn是来自总体X的样本，如果相互独立且每个分量与总体同分布，称其为简单随机样本，简称样本.若总体X的分布函数为F(x),则样本X1,X2,···,Xn的联合分布函数为判断统计量是随机变量且不含未知参数，称T为统计量.对相应的样本值(x1,x2,…,xn)，称t=T(x1,x2

4、,…,xn)为统计量的统计值.四、统计量定义6.1.2设X1,X2,···,Xn是总体X的样本，T为n元实值函数，若样本的函数T=T(X1,X2,···,Xn)总体是随机变量统计量是随机变量(或向量）样本是随机向量样本均值：样本方差：常见统计量：样本k阶原点矩：样本k阶中心矩：统称样本矩几个重要关系式：X,S2,Ak,Mkx,s2,ak,mk统计量统计值思考样本矩与总体矩(即第四章中定义的矩)的概念有什么区别？样本矩是随机变量!总体矩是数值!从民意测验看抽样1936年，FranklinDelanoRosevelt(罗斯福)与共和党的候选人-Kansas州州长AlfredLandon

5、(兰登)竞选总统.绝大多数观测家认为罗斯福会是获胜者，但《文学摘要》却预测兰登会以57%:43%的优势获胜.《摘要》自1916年以来的历届总统选举中都正确地预测出获胜的一方,但这次罗斯福以62%:38%的压倒优势取胜！(不久《文学摘要》就垮了)#《摘要》调查的过程是将问卷寄给一千万人，这些人的名字和地址摘自电话簿或俱乐部会员名册，这筛掉了不属俱乐部或未装电话的穷人.这在1936年前影响不大,因为穷人富翁以类似的思考投票；但1936年经济正在从大萧条中恢复，故穷人选罗斯福，而富翁们选兰登.例6.1.1设总体X~B(1,p)，其中p是未知参数，(X1,X2,…,X5)是来自X的简单随机

6、样本，1)指出以下变量哪些是统计量，为什么？2)确定(X1,X2,…,X5)的联合概率分布？2)因解1)只有不是统计量,因p是未知参数.#故(X1,X2,…,X5)的联合分布律为P{X1=x1,X2=x2,…,X5=x5}数理统计的引入某厂生产的一批产品中次品率为p。从中抽取10件产品装箱。1）没有次品的概率2）平均有几件次品概率3）为以0.95的概率保证箱中有10件正品，箱中至少要装多少件产品。所有这些问题的关键是p是已知的！如何获取p?这就是数理统计的任务了！一个很自然的想法就是：首先从这批产品中随机抽取产品进行检验。怎样随机抽取这属于抽样理论与方法问题。本书不讨论。其次利用概

7、率论的知识处理实测数据。如何分析、处理实测数据。这属于统计推断的问题。也是我们研究的内容。统计推断常解决的问题：1）如何估计次品率p?2）如果以p<0.01为出厂的标准，这批产品能否出厂？数理统计的引入参数估计问题假设检验问题#