矩阵与数值分析 误差分析

《矩阵与数值分析 误差分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、矩阵与数值分析大连理工大学工科硕士研究生数学公共基础课程大连理工大学研究生教育大楼授课教师基本信息•姓名：董波•工作单位：数学科学学院•办公地点：创新园大厦（大黑楼）B1113室•EMAIL:dongbodlut@gmail.com创业园大厦主讲教材参考书目(Reference)科学和工程计算基础施妙根顾丽珍编著（清华大学出版社）John.H.Mathews数值方法（MATLAB版）[美]KurtisD.Fink陈渝等译李晓梅审校（电子工业出版社）矩阵论简明教程许仲张凯院等编著科学出版社考核要求平时作业占20%；课程的总成绩数值

2、实验占10%；期末考试占70%；第1章绪论作业：P272、3、7、8、10、12（3）、1322cc3、（2）xx2222bb44acbbac第1章绪论1.1计算机科学计算研究对象与特点1.2误差分析与数值方法的稳定性1.3向量与矩阵的范数1.1计算机科学计算研究对象与特点科学计算、理论计算和实验并列为三大科学方法。我们所学习的内容属于一门新学科——科学计算。即现代意义下的计算数学。主要研究在计算机上可计算的有效算法及相关理论。本课程主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现主要内容包括：fx

3、fxAxbb数值代数axfxdx数值逼近（数值微分积分）uft,u,utu00微分方程数值解法A矩阵分析简介AAkfAe、sinAkk0k0dAtbA(t)dtdta解决实际问题：一、构造计算机可行的有效算法二、给出可靠的理论分析，即对任意逼近达到精度要求，保证数值算法的收敛性和数值稳定性，并可进行误差分析。三、有好的计算复杂性，既要时间复杂性好，是指节省时间，又要空间复杂性好，是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。四、数值实验，即任何一

4、个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。什么是有效算法？考察线性方程组的解法axaxaxb1111221nn1axaxaxb2112222nn2axaxaxbn11n22nnnnCramer求解法则(18世纪)Dxiin1,2,,,（D≠0）iDLaplace展开定理aaa11121naaaDdetA21222ndetAaAi11iaAinin第Aij表示元素aij的代数余子式aaain12nnn列aa11b1n1aa21b2n2DidetAi

5、aan1bnnn理论非常漂亮实际计算困难（运算量大得惊人）线性方程组的求解计算n+1个n阶行列式Laplace展开定理设计算k阶行列式所需要的乘法运算的次数为m，则kmkkmkk1于是，我们有mnnnmn12nnn11nmnnnn1nn1n2nn132n!利用Cramer法和Laplace展开定理来求解一个n阶线性方程组，所需的乘法运算次数就大于(n1)!(nn1)!求解25阶线性方程组总的的乘法运算次数将达：26！=4.0329×1026（次）若使用每

6、秒百亿次的串行计算机计算,一年可进行的运算应为：365(天)×24(小时)×3600(秒)×1010≈3.1536×1017（次）共需要耗费时间为：261794.0329103.1536101.27881013(亿年)它远远超出目前所了解的人类文明历史！Cramer算法是“实际计算不了”的。而著名的Gauss消元法，它的计算过程已作根本改进，成为有效算法，使得可在不到一秒钟之内即可完成上述计算任务。随着科学技术的发展，出现的数学问题也越来越多样化，有些问题用消去法求解达不到精度，甚至算不出结果，从而促使人们对消去法进

7、行改进，又出现了主元消去法，大大提高了消去法的计算精度。这就是研究数值方法的必要性1.2误差分析与数值方法的稳定性1.2.1误差来源与分类1.2.2误差的基本概念和有效数字1.2.3函数计算的误差估计1.2.4数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原则1.2.1误差来源与分类用计算机解决科学计算问题时经常采用的处理方式是将连续的问题离散化、用有限代替无限等，并且用数值分析所处理的一些数据，不论是原始数据，还是最终结果，绝大多数都是近似的，因此在此过程中，误差无处不在。计模型误差实际问题算机科数学模型方法误差或称为截断误差学计数值计算方

8、法算观测误差的流编程实现算法程舍入误差图计算机数值结果1．模型误差由实际问题抽象出数学模型，要简化许多条件，这就不可避免地要产生误差．实际问题的解与数学模型的解之间的误差2.截断误差从数学问题转化为数值