紧支撑小波基的构造

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1、第3章紧支撑小波基的构造1.紧支撑正交小波的构造Daubechies小波2.尺度函数与小波函数的求解与作图算法、Matlab3.紧支撑双正交小波的构造(5-3),(9-7)小波滤波器copyright@孙延奎2006紧支撑正交小波的构造•必要性及基本思路¢多分辨分析构造正交小波的基本过程及所构造的小波的特点ϕ→→φψhg→→Haar,Shannon,Battle-Lemarie¢构造小波的另一种思路h→→φψ基本问题：copyright@孙延奎2006紧支撑正交小波的构造•问题对于hh={},,hL,h，h

2、h,,L,h在满足什么条件下，01N01N两尺度方程Nφφ()th=2∑k(2t−k)k=022存在解φ(tL)∈()R，并且它是L(R)中的正交尺度函数？或者^∞hˆ(/2j)()ωφω=∏j=12收敛，并且收敛于L2(R)中某个正交尺度函数的Fourier变换？copyright@孙延奎2006紧支撑正交小波的构造•必要条件1）∑hhkk+20n=δ,nk2）∑hk=21）和2)只是必要条件，非充k分条件。∞hˆ(/2j)ˆω3）φω()=∏j=12hh={},,hh,h0123⎧⎫⎪⎪13++−333

3、31−3⎧hhhh22+++22=1h=⎨⎬,,,012342424242⎪⎪⎪⎩⎭⎨hh+=hh00213⎪⎧⎫11⎩hhhh+++=2h=⎨⎬,0,0,0123⎩⎭22copyright@孙延奎2006紧支撑正交小波的构造•充分条件hh∑hhkk+20n=δ,n∑=δkk+20n,nkk∑hk=2∑hk=2kkhˆ0⎡ππ⎤infhˆ0(ω)≠ω∈−⎢,⎥()ω>22π⎣⎦ω≤2∑hh=δ∑hhkk+20n=δ,nkk+20n,nkk∑h=2∑hk=2kkk^1+e−iω矩阵A的特征值1是非退化的。hF

4、()=2()pi(eω)p阶消失矩条件ω02其中Aa=iπ，iω(ij,)()21NN−×−()21Fe0()≠0Fe0()在ω=0~2πNah=∑h∗,1−+N≤i,j≤N−1copyright@孙延奎2006范围内的上界值≤2p−1ij,2kj−+ikk=0紧支撑正交小波的构造•Daubechies紧支集正交小波小波消失矩的定义、性质和作用：+∞k∫−∞ttψ()dtψ()t的矩。+∞+∞kp∫−∞ttψ()dt=0，kp=0,1,L,−≥1,p1，∫−∞ttψ()dt≠0p阶消失矩条件p−1ψ()tx

5、,(t)=0xt()=+a01at+L+ap−1tf(t)p次连续可微的函数，ψ()tp阶消失矩的实正交小波，支撑[cd,]−j/22−−jp()pjdpff,2ψψjk,≈()2kt∫()tdtj分辨率p!ccopyright@孙延奎2006fj,0ψ→→+∞jk,紧支撑正交小波的构造•Daubechies紧支集正交小波小波消失矩的等价条件：φ,ψ正交尺度函数与正交小波；φˆ,ψˆp次连续可微()t(k)ψ具有P阶消失矩ψˆ(0)=0,kp=−0,1,2,L,1hkˆ(k)()0,0,1,,p1π==−L

6、(k)gˆ()0=0,kp=−0,1,L,1N⎧⎪hh01−+h2+L+()−10hN=⎨2N⎪()−12hh+−kk()1+L+N()−1h=0,0

7、1⎛⎞1c−osωiωFe0()=∑⎜⎟⎜⎟j=0⎝⎠j⎝⎠22由于F(eiω)==Fz()F*1()zFz()Fz(−)00000−1a从F00()zF(z)中的每对互为倒数的零点(cckk,1/)中选择ka≤iϖ，使其在单位圆k1内,从而求出F0(e)hˆ(ω)Daubechies小波支撑[−+pp1,]copyright@孙延奎2006紧支撑正交小波的构造•Daubechies紧支集正交小波p=2时,D4小波的求解j21⎛⎞1+j⎛⎞1c−osiωFeω=⎜⎟⎜⎟=2-cos0()∑ωj=0⎝⎠j⎝⎠

8、2F()zF()z−1=+1⎡(13)+(1−3)z⎤⎡(13+)+(1−3)z−1⎤00⎣⎦⎣⎦4取位于单位圆内的零点组成F0(z)2−1Fz()=11⎡⎤()++3(1−3)z−1hz()=+21⎛⎞+z⎡()13+()1−3z−1⎤0⎣⎦22⎜⎟⎣⎦2⎝⎠13++333−31−3hh==,,h=,h=012342424242能量分布特点:copyright@孙延奎2006紧支撑正交小波的构造•Daubech